Integralkosinus

Graph des Integralcosinus (grün, untere Kurve) und des Integralsinus (blau, obere Kurve) für Argumente 0 ≤ x ≤ 8π

Der Integralkosinus ist eine Funktion, in deren Funktionsvorschrift ein Integral und die Kosinusfunktion auftreten. Diese Integralfunktion kann mit elementaren Methoden nicht ohne Integral dargestellt werden.

Der Integralkosinus ist definiert als:

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x):=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

Dabei ist $\gamma =0,577215...$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Eigenschaften

• Das in der Definition auftretende Integral wird auch mit $\mathrm{Cin}$ bezeichnet:

$\mathrm{Cin}(x):=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

mit der Beziehung:

$\mathrm{Cin}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Ci}(x)$

• Analog zur Ableitung des Integralsinus Si(x):

${\mathrm{Si}}^{\prime }(x)=\frac{\sin x}{x}$

gilt:

${\mathrm{Ci}}^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)}{x}$

• Analog der komplexen Eulerformel-Definition des Cosinus

$\cos x=\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x})$

gilt mit der Integralexponentialfunktion $\mathrm{Ei}$

$\mathrm{Ci}(x)=\frac{1}{2}(\mathrm{Ei}(\mathrm{i}x)+\mathrm{Ei}(-\mathrm{i}x))$

• Es lässt sich eine überall konvergente Reihe angeben:

$\mathrm{Ci}\left(x\right)=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot 2}+\frac{x^4}{4!\cdot 4}-\cdots =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!\cdot 2k}$

• Folgende unendliche Summe mit Integralkosinuswerten als Summanden ergibt diesen Wert:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Ci}(2\pi n)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\gamma$

• Denn es gelten folgende Integrale:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\exp (-wx)}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\pi \sin (w)-\mathrm{Si}(w)\sin (w)-\mathrm{Ci}(w)\cos (w)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{(x^2+1)[\exp (2\pi x)-1]}dx=\frac{1}{2}\gamma -\frac{1}{4}$

Anmerkung: In verschiedenen Formelsammlungen wird der Integralkosinus mit umgekehrten Vorzeichen definiert.

Eng verwandt ist der Integralsinus $\mathrm{Si}(x)$, der zusammen mit dem Integralcosinus $\mathrm{Ci}(x)$ in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

Siehe auch

• Integralexponentialfunktion
• Integralsinus

Weblinks

• Vorlage:MathWorld