Indexsatz für Blätterungen

In der Mathematik ist der Indexsatz für Blätterungen eine Verallgemeinerung des Atiyah-Singer-Indexsatzes. Sein Spezialfall für Blätterungen durch Fasern eines Faserbündels ist der Familien-Indexsatz.

Sei $ℱ$ eine Blätterung einer Mannigfaltigkeit $M$, mit transversalem Maß $\mathrm{\Lambda }$ und zugehörigem Ruelle-Sullivan-Strom $C$, und sei $D$ ein blattweise elliptischer Operator. Dann ist das Integral über den Raum der Blätter $\int \dim (ker(D_F))d\mathrm{\Lambda }(F)$ endlich (wobei jeweils $D_F$ die Einschränkung von $D$ auf das Blatt $F$ bezeichnet), und

$\int \dim (\ker (D_F))d\mathrm{\Lambda }(F)-\int \dim (\ker (D_F^{*}))d\mathrm{\Lambda }(F)=⟨ch({\sigma }_D)\cdot Td(M),\left[C\right]⟩$,

wobei ${\sigma }_D$ das Hauptsymbol von $D$, $ch$ den Chern-Charakter und $Td(M)$ die Todd-Klasse von $M$ bezeichnet.

Zum Beispiel erhält man für den blattweisen Hodge-Laplace-Operator, wenn $H^j(F)$ den Raum der harmonischen $j$-Formen auf $F$ bezeichnet, dass ${\beta }_j:=\int \dim H^j(F)d\mathrm{\Lambda }(F)$ endlich ist und $\sum _j(-1{)}^j{\beta }_j=⟨e(Tℱ),\left[C\right]⟩$ für die Euler-Klasse $e(Tℱ)$ des Tangentialbündels an die Blätter gilt.

Literatur

• A. Connes: Feuilletages et algèbres d'opérateurs. Semin. Bourbaki, Vol. 1979/80, Exp. 551, Lect. Notes Math. 842, 139–155 (1981).
• A. Connes, G. Skandalis: The longitudinal index theorem for foliations. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20, 1139–1183 (1984).