Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

Definition

Die quadratische Form

$t^2=n(𝐱-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(𝐱-\mathit{\mu })\sim T(p,n-1)$

folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit

• $n$ einer Anzahl von Punkten
• $𝐱$ ist ein Spaltenvektor mit $p$ Elementen
• $𝐖$ ist eine $p\times p$-Kovarianzmatrix

Eigenschaften

Es sei $x\sim N_p(\mu ,𝐕)$ eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und $𝐖\sim W_p(m,𝐕)$ (unabhängig von $x$) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix $𝐕$ und mit $m=n-1$. Dann ist die Verteilung von $t^2$: $T^2(p,m)$, Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern $p$ und $m$.

Für die F-Verteilung $F$ gilt:

$\frac{m-p+1}{pm}{T}^2\sim F_{p,m-p+1}$.

Unter der Annahme, dass

${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n$

$p\times 1$-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

$\overline{𝐱}=({𝐱}_1+\cdots +{𝐱}_n)/n$

sei der Mittelwert. Die positiv definite $p\times p$-Matrix

$𝐖=\sum _{i=1}^n({𝐱}_i-\overline{𝐱})({𝐱}_i-\overline{𝐱}{)}^{\prime }/(n-1)$

sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix $M$ sei mit $M^{\prime }$ bezeichnet). $\mu$ sei ein $p\times 1$-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

$t^2=n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }).$

$t^2$ hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.

Wenn ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n\sim N_p(\mu ,𝐕)$ unabhängig sind und $\overline{𝐱}$ und $𝐖$ wie oben definiert sind, dann hat $𝐖$ eine Wishart-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden, so dass

$𝐖\sim W_p(V,n-1)$

und ist unabhängig von $\overline{𝐱}$ und

$\overline{𝐱}\sim {𝒩}_p(\mu ,V/n)$.

Daraus folgt

$t^2=n(\overline{𝐱}-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐖}^{-1}(\overline{𝐱}-\mathit{\mu })\sim T^2(p,n-1).$