Homotopie-Quotient

In der Mathematik ist der Homotopie-Quotient ein Begriff aus der algebraischen Topologie.

Er erlaubt eine homotopie-invariante Definition der Quotienten von Gruppenwirkungen und kann deshalb zur Definition von Homotopieinvarianten von Gruppenwirkungen verwendet werden, beispielsweise der äquivarianten Kohomologie.

Definition

Eine Gruppe $G$ wirke auf einem Raum $X$. Als Homotopie-Quotient $X//G$ dieser Gruppenwirkung bezeichnet man den Homotopietypen von $(X\times EG)/G$, wobei $EG$ ein zusammenziehbarer Raum mit einer freien $G$-Wirkung ist.

Der Homotopietyp von $X//G$ hängt nicht von der Wahl des zusammenziehbaren, freien $G$-Raumes $EG$ ab. Man kann für $EG$ beispielsweise die geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes wählen, dessen $n$-Simplizes den Tupeln in $G^{n+1}$ entsprechen.

Für freie Wirkungen ist $X//G$ homotopie-äquivalent zu $X/G$, im Allgemeinen ist das aber nicht der Fall.

Weblinks

• homotopy quotient (nLab)
• M. Anel: The homotopy quotient