Hodge-Struktur

In der Mathematik ist eine Hodge-Struktur eine algebraische Struktur, die die Hodge-Zerlegung der Kohomologie kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Hodge-Strukturen haben vielfältige Anwendungen in komplexer und algebraischer Geometrie.

Definitionen

Eine Hodge-Zerlegung eines reellen Vektorraums $V$ ist eine Zerlegung

$V{\otimes }_{ℝ}ℂ=\underset{p,q\in {\mathbb{Z}}^2}{⨁}{V}^{p,q}$

mit $\overline{V^{q,p}}=V^{p,q}$ für alle $p,q$.

Eine Hodge-Struktur ist ein reeller Vektorraum zusammen mit einer Hodge-Zerlegung.

Eine reine Hodge-Struktur vom Gewicht $n$ ist eine Hodge-Struktur mit

$V{\otimes }_{ℝ}ℂ=\underset{p+q=n}{⨁}{V}^{p,q}.$

Allgemein hat man für eine Hodge-Struktur eine Gewichtszerlegung

$V=\underset{n}{⨁}{V}_n$

mit $V_n=\underset{p+q=n}{⨁}{V}^{p,q}.$

Eine ganze Hodge-Struktur (bzw. rationale Hodge-Struktur) ist ein endlich erzeugter freier $\mathbb{Z}$-Modul (bzw. ein endlich erzeugter $\mathbb{Q}$-Vektorraum) $A$ mit einer Hodge-Zerlegung von $V=A{\otimes }_{\mathbb{Z}}ℝ$ (bzw. $V=A{\otimes }_{\mathbb{Q}}ℝ$), so dass die Gewichtszerlegung über $\mathbb{Q}$ definiert ist.

Beispiele

Hodge-Tate-Strukturen

Z(n)

$\mathbb{Z}(1)$ ist die ganze Hodge-Struktur mit $\mathbb{Z}$-Modul

$2\pi i\mathbb{Z}\subset ℂ$

und $\mathbb{Z}(1){\otimes }_{\mathbb{Z}}ℂ=H^{-1,-1}$. Sie ist die einzige 1-dimensionale Hodge-Struktur vom Gewicht -2.

Mit $\mathbb{Z}(n)$ wird das $n$-fache Tensorprodukt

$\mathbb{Z}(n):=\mathbb{Z}(1)\otimes \dots \otimes \mathbb{Z}(1)$

bezeichnet.

Q(n)

$\mathbb{Q}(1)$ ist die rationale Hodge-Struktur mit $\mathbb{Q}$-Vektorraum

$2\pi i\mathbb{Q}\subset ℂ$

und $\mathbb{Q}(1){\otimes }_{\mathbb{Q}}ℂ=H^{-1,-1}$. $\mathbb{Q}(n)$ ist das $n$-fache Tensorprodukt $\mathbb{Q}(n):=\mathbb{Q}(1)\otimes \dots \otimes \mathbb{Q}(1)$.

R(n)

$ℝ(1)$ ist die Hodge-Struktur mit $ℝ$-Vektorraum

$iℝ\subset ℂ$

und $ℝ(1){\otimes }_{ℝ}ℂ=H^{-1,-1}$. $ℝ(n)$ ist das $n$-fache Tensorprodukt $ℝ(n):=ℝ(1)\otimes \dots \otimes ℝ(1)$.

Hodge-Zerlegungs-Satz für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Die Kohomologie einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit $M$ trägt eine Hodge-Struktur: nach dem Satz von Hodge kann man die $n$-te Kohomologie $H^n(M;ℝ)$ mit dem Raum der harmonischen Differentialformen ${\mathscr{H}}^n(M)$ identifizieren und es gilt

${\mathscr{H}}^n(M){\otimes }_{ℝ}ℂ=\underset{p+q=n}{⨁}{\mathscr{H}}^{p,q}(M)$

wobei ${\mathscr{H}}^{p,q}(M)$ die harmonischen (p,q)-Formen bezeichnet. Es gilt $\overline{{\mathscr{H}}^{p,q}(M)}={\mathscr{H}}^{q,p}(M)$.

Hodge-Filtrierung

Zu einer reinen Hodge-Struktur vom Gewicht $n$ bezeichnet man die Filtrierung

$\dots \supset F^p\supset F^{p+1}\supset \dots$

mit

$F^p=\underset{r\ge p}{⨁}{V}^{r,s}\subset V{\otimes }_{ℝ}ℂ$

als zugehörige Hodge-Filtrierung.

Die Hodge-Filtrierung bestimmt die Hodge-Zerlegung durch

$V^{p,q}=F^p\cap \overline{F^q}.$

Die Existenz einer reinen Hodge-Zerlegung vom Gewicht $n$ ist also äquivalent zur Existenz einer Filtrierung $(F^p{)}_{p\in \mathbb{Z}}$ von $V{\otimes }_{ℝ}ℂ$ mit $F^p=0$ für hinreichend große $p$ und

$F^p\oplus \overline{F^{q+1}}=V{\otimes }_{ℝ}ℂ$

für alle $p,q$ mit $p+q=n$.

Literatur

• Wells R. O.: Differential Analysis on Complex Manifolds (3rd ed.), Springer 2008, ISBN 978-0-387-73891-8.
• Carlson, James; Müller-Stach, Stefan; Peters, Chris: Period mappings and period domains. 2nd edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 168. Cambridge: Cambridge University Press (2017), ISBN 978-1-316-63956-6 (Paperback), 978-1-108-42262-8 (Hardback), 978-1-316-99584-6 (E-Book).