Hilbert-Matrix

Die Hilbert-Matrix der Ordnung $n\ge 1$ ist folgende quadratische, symmetrische, positiv definite Matrix:

$H_n=\left(\begin{array}{ccccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \cdots & \frac{1}{n}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \cdots & \frac{1}{n+1}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}& \cdots & \frac{1}{n+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{1}{n}& \frac{1}{n+1}& \frac{1}{n+2}& \cdots & \frac{1}{2n-1}\end{array}\right)$,

die einzelnen Komponenten sind also durch $h_{ij}=\frac{1}{i+j-1}$ gegeben. Dem historischen Zugang entspricht die Darstellung mit Integral: $h_{ij}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{i+j-2}dx$.

Sie wurde vom deutschen Mathematiker David Hilbert 1894 im Zusammenhang mit der Theorie der Legendre-Polynome definiert. Da die Matrix positiv definit ist, existiert ihre Inverse, d. h. ein lineares Gleichungssystem mit diesen Koeffizienten ist eindeutig lösbar. Die Hilbert-Matrix bzw. das betreffende Gleichungssystem ist jedoch vergleichsweise schlecht konditioniert, und zwar umso schlechter, je größer $n$ ist. Die Konditionszahl wächst exponentiell mit $n$; die Konditionszahl von $H_3$ ist 526,16 (Frobeniusnorm), diejenige von $H_4$ 15.613,8. Das heißt, dass bei der Berechnung der Inversen (der Auflösung des Gleichungssystems) immer größere Zahlen auftreten, je größer $n$ ist. Daher ist die Hilbert-Matrix ein klassischer Testfall für Computer-Programme zur Inversion von Matrizen bzw. Auflösung linearer Gleichungssysteme, z. B. mit dem Gauß-Verfahren, LR-Zerlegung, Cholesky-Zerlegung usw. Alle Komponenten der inversen Matrix sind ganze Zahlen mit alternierenden Vorzeichen.

Die Komponenten der Inversen der Hilbert-Matrix können durch geschlossene Formeln direkt berechnet werden:

$(H_n^{-1}{)}_{i,j}=\frac{(-1{)}^{i+j}}{(i+j-1)}\frac{(n+i-1)!(n+j-1)!}{((i-1)!(j-1)!{)}^2(n-i)!(n-j)!}$,

was man auch durch Binomialkoeffizienten ausdrücken kann:

$(H_n^{-1}{)}_{i,j}=(-1{)}^{i+j}(i+j-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i-1}{n-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+j-1}{n-i}){(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j-2}{i-1})}^2$.

Im Spezialfall $i=j=1$ reduziert sich das zu:

$(H_n^{-1}{)}_{1,1}=n^2$.

Dass die Inverse der Hilbert-Matrix exakt berechnet werden kann, ist besonders nützlich, wenn z. B. bei einem Test das Ergebnis der numerischen Inversion einer Hilbert-Matrix mit einer LR- oder Cholesky-Zerlegung, die naturgemäß durch Rundungsfehler beeinträchtigt ist, beurteilt werden soll.

Determinante

Die Determinante der Inversen der Hilbert-Matrix kann ebenfalls mit Hilfe folgender Formel exakt berechnet werden:

$\det H_n^{-1}=\prod _{k=1}^{n-1}(2k+1){(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}^2$

Als Determinante der Hilbert-Matrix ergibt sich somit der Reziprokwert der Inversen mit $\det H_n=(\det H_n^{-1}{)}^{-1}$. Die Determinanten der Inversen für $1\le n\le 5$ lauten damit 1, 12, 2160, 6048000 und 266716800000 (Vorlage:OEIS).

Zahlenbeispiele für Inverse

Aus obigen Formeln ergibt sich für die (exakte) Inverse in den Fällen $n=2,3,4,5$:

$H_2^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ -6& 12\end{array}\right)$,

$H_3^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}9& -36& 30\\ -36& 192& -180\\ 30& -180& 180\end{array}\right)$,

$H_4^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}16& -120& 240& -140\\ -120& 1200& -2700& 1680\\ 240& -2700& 6480& -4200\\ -140& 1680& -4200& 2800\end{array}\right)$,

$H_5^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}25& -300& 1050& -1400& 630\\ -300& 4800& -18900& 26880& -12600\\ 1050& -18900& 79380& -117600& 56700\\ -1400& 26880& -117600& 179200& -88200\\ 630& -12600& 56700& -88200& 44100\end{array}\right)$.

Für eigenes Experimentieren mit Hilbert- (und natürlich auch mit allen anderen) Matrizen sind moderne Mathematik-Software-Pakete wie MATLAB, Maple, GNU Octave oder Mathematica nützlich. Z. B. mit Mathematica kann die letzte Inverse durch folgenden Befehl berechnet werden:

Inverse für $n=5$ berechnen:

 In[1] := Inverse[HilbertMatrix[5]]//TraditionalForm

Die schlechte Kondition der Hilbert-Matrix bedeutet praktisch, dass die Zeilen- (und folglich auch die Spalten-) Vektoren fast linear abhängig sind. Geometrisch äußert sich das u. a. darin, dass die Winkel zwischen den Zeilenvektoren sehr klein sind, und zwar zwischen den letzten Zeilenvektoren jeweils am kleinsten; so ist z. B. der Winkel zwischen dem letzten und dem vorletzten Zeilenvektor von $H_4$ kleiner als 3° (im Bogenmaß: kleiner als $\frac{\pi }{60}$). Bei größeren $n$ sind die Winkel entsprechend noch kleiner. Der Winkel zwischen dem ersten Zeilenvektor von $H_3$ und der Ebene, die von den beiden anderen Zeilenvektoren aufgespannt wird, ist etwas kleiner als 1,3°, die entsprechenden Winkel für die beiden anderen Zeilenvektoren sind noch kleiner; auch diese Winkel sind bei größeren $n$ noch kleiner.

Literatur

• David Hilbert: Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms. In: Acta Mathematica. Bd. 18, 1894, S. 155–159, Volltext.
• Gene H. Golub, Charles F. Van Loan: Matrix computations. 3rd edition (Nachdruck). Johns Hopkins University Press, Baltimore MD u. a. 1996, ISBN 0-80185414-8 (in englischer Sprache).