Hilbert-Carleman-Determinante

In der Funktionalanalysis ist die Hilbert-Carleman-Determinante ein Determinanten-Begriff für Integraloperatoren auf Banach-Räumen, deren Kern nicht zwingend stetig ist. Die Fredholm-Determinante kann bei Integraloperatoren, deren Kern auf der Diagonale nicht stetig ist, im Allgemeinen nicht definiert werden. Wie diese ist auch die Hilbert-Carleman-Determinante für die Summe des Identitätsoperators mit einem Spurklasseoperators definiert, bei der Hilbert-Carleman-Determinante jedoch nur für Integraloperatoren.

Die Hilbert-Carleman-Determinante ist nach David Hilbert (1904) und Torsten Carleman (1921) benannt.

Hilbert-Carleman-Determinante

Sei $T\subseteq ℝ$ und $B:=L_p(T,\mathrm{\Sigma },\mu )$ der L^p-Raum über einem Maßraum $(T,\mathrm{\Sigma },\mu )$ und dem Lebesgue-Maß $\mu$ und $1\le p<\mathrm{\infty }$. Sei

$Af=\underset{T}{\int }k(t,s)f(s)\mathrm{d}\mu (s)$

ein Integraloperator auf dem Banach-Raum $B$ und $I$ der Identitätsoperator, dann ist die Hilbert-Carleman-Determinante von $I+A$ definiert als

$\mathrm{Det}(I+A)=1+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\psi }_n(A)$,

wobei

${\psi }_n(A)=\underset{T^n}{\int }\det \left(\begin{array}{cccc}0& k(t_1,t_2)& \cdots & k(t_1,t_n)\\ k(t_2,t_1)& 0& \cdots & k(t_2,t_n)\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ k(t_n,t_1)& k(t_n,t_2)& \cdots & 0\end{array}\right)\prod _{i=1}^n\mathrm{d}\mu (t_i)$.

Erläuterungen

• Die Matrix oben besitzt auf der Diagonalen nur Nullen und an den restlichen Positionen die entsprechenden Werte des Kerns.
• Im Gegensatz zur Fredholm-Determinante ist die Hilbert-Carleman-Determinante nicht multiplikativ.
• Falls $A$ ein Spurklasseoperator ist, dann gilt folgende Beziehung zur Fredholm-Determinant (notiert mit $\det$)

$\mathrm{Det}(I+A)=\det (I+A)\exp (-\mathrm{tr}(A)).$