Fredholm-Determinante

Die Fredholm-Determinante ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der den Begriff der Determinante eines endlichdimensionalen linearen Operators verallgemeinert. Die Fredholm-Determinante hat Anwendungen in der Theorie der Zufallsmatrizen und der mathematischen Physik.

Die Funktion ist nach Erik Ivar Fredholm benannt, der sie beim Studium von Integralgleichungen einführte.

Definition

Sei $J_1$ die Familie aller Spurklasseoperatoren über einem $n$-dimensionalen Hilbertraum über $ℂ$. Sei $K\in J_1$ und $\mathrm{Id}$ der Identitätsoperator, dann ist die Fredholm-Determinante $\det (\mathrm{Id}+K)$ definiert als

$\det (\mathrm{Id}+K):=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{tr}(K^{\wedge j})$.

Zur Erläuterung der rechten Seite sei $(e_i{)}_{i\in I}$ eine Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Hilbertraums $H$ mit einer wohlgeordneten Menge $I$. Das $j$-fache äußere Produkt $H^{\wedge j}$ ist der Hilbertraum mit Orthonormalbasis $e_{i_1}\wedge \dots \wedge e_{i_j},i_1<\dots <i_j,i_k\in I$. Dann ist der durch $K^{\wedge j}(e_{i_1}\wedge \dots \wedge e_{i_j}):=K{e}_{i_1}\wedge \dots \wedge K{e}_{i_j}$ definierte Operator $K^{\wedge j}:H^{\wedge j}\to H^{\wedge j}$ ebenfalls ein Spurklasseoperator und man kann die Spur $\mathrm{tr}(K^{\wedge j})$ bilden. Damit ist die rechte Seite obiger Definition erklärt.

Diese Definition stammt von Alexander Grothendieck. Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen der Fredholm-Determinante, jede mit Vor- und Nachteilen. Für weitere Berechnungen eignet sich aber vor allem die Definition über die Graßmann-Algebra.

Eigenschaften

Wenn $K$ ein Integraloperator mit stetigem Integralkern $G$ ist, dann lässt sich der Ausdruck umschreiben zu

$\mathrm{tr}(K^{\wedge j})=\frac{1}{j!}\sum _{l_1,\dots ,l_j=1}^n\underset{{ℝ}^j}{\int }\det [G_{l_s,l_t}(x_s,x_t){]}_{s,t=1,\dots ,j}\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_j$,

wo bei $G_{l_s,l_t}$ die Darstellung von $G$ bezüglich einer Schur-Basis bezeichnet.

Herleitung nach Fredholm

Seien $f(x),u(x)\in C[0,1]$ und $K(x,y)$ ein Integralkern auf dem Produktraum. Fredholm studierte die Integralgleichung

$f(x)=(I+K)u(x):=u(x)+\underset{0}{\overset{1}{\int }}K(x,y)u(y)\mathrm{d}y$.

Er ersetzte das Integral in der Gleichung durch eine riemannsche Summe und diskretisierte $f$ als $f_i=f(i/n)$. Somit entstand ein System von $n$ linearen Gleichungen der Form

$f_i=u_i+\frac{1}{n}\sum _j{K}_{ij}{u}_j$.

Das kann man nun als Matrix-Vektor-Produkt $(I+h{K}_{ij})u$ verstehen, wobei $h:=1/n$. Sei nun $D(1/n)$ die Determinante dieser Matrix in Relation zur Diskretisierungslänge, dann gilt durch Taylorentwicklung

$D(1/n)=\sum _{m=0}^n{a}_m{h}^m:=\sum _{m=0}^n\frac{1}{m!}{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\right)}^{m}D(h){|}_{h=0}{h}^m$

und somit

$D(1/n)=1+\frac{1}{n}\sum _i{K}_{ij}+\frac{1}{n^2}\sum _{i,j}\det \left(\begin{array}{cc}{K}_{ii}& K_{ij}\\ K_{ji}& K_{jj}\end{array}\right)+\cdots$

oder kompakt

$\det (I+n^{-1}K)=D(1/n)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{n}\right)}^k\frac{1}{k!}\int \cdots \int \det [K(x_i,x_j){]}_{1=i,j}^k\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_k$

und somit

$\det (I+\alpha K)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^k}{k!}\int \cdots \int \det [K(x_i,x_j){]}_{1=i,j}^k\mathrm{d}{x}_1\cdots \mathrm{d}{x}_k$.