Higgs-Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz a eine Primzahl $H{p}_n\in \mathbb{P}$, bei der $H{p}_n-1$ die $a$-te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs-Primzahlen teilt. Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz $a\in \mathbb{N}$, dass die Higgs-Primzahl $H{p}_n$ folgende Bedingung erfüllt:

$\phi (H{p}_n)=H{p}_n-1\text{ teilt }\prod _{i=1}^{n-1}{H{p}_i}^a\text{ mit }H{p}_n>H{p}_{n-1}$

wobei $\phi (n)$ die Eulersche Phi-Funktion ist (sie gibt für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ an, wie viele zu $n$ teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als $n$ sind; bei Primzahlen $p$ ist $\phi (p)=p-1$).

Die Higgs-Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt.

Beispiele

• Die ersten Higgs-Primzahlen für die Potenz $a=2$ (also für Quadrate) sind die folgenden:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 107, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 263, 269, 277, 283, 311, 317, 331, 347, 349, 367, 373, 383, 397, 419, 421, 431, 461, 463, 491, 509, 523, 547, 557, 571, … (Vorlage:OEIS)

• Die Zahl $H{p}_8=23$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=2$, weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also $(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 19{)}^2=325550124900$ die Zahl $H{p}_8-1=23-1=22$ als Teiler hat (es ist $325550124900:22=14797732950$).
• Die Zahl $17$ ist keine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=2$: das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also $(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{)}^2=901800900$ hat die Zahl $17-1=16$ nicht als Teiler (es bleibt $4$ Rest).
• Die Zahl $13$ ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=6$, weil die $6$-te Potenz des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also $(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11{)}^6=151939915084881000000$ die Zahl $13-1=12$ als Teiler hat (es ist $151939915084881000000:12=12661659590406750000$).
• Bei höheren Potenzen $a$ sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs-Primzahlen, sodass es sinnvoll erscheint, diejenigen Primzahlen anzugeben, welche nicht gleichzeitig Higgs-Primzahlen sind. Die folgende Tabelle gibt diese „Nicht-Higgs-Primzahlen“ bei gegebener Potenz $a$ bis zur 100. Higgs-Primzahl zur jeweiligen Potenz $a$ an:

Exponent $a$	100. Higgs- Primzahl	keine Higgs-Primzahlen für die Potenz $a$ bis zur 100. Higgs-Primzahl dieser Potenz
2	1117	17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823, 857, 877, 881, 887, 919, 929, 937, 953, 971, 977, 997, 1009, 1021, 1031, 1033, 1049, 1069, 1091, 1097 (insgesamt 87 Primzahlen)
3	733	17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487, 577, 593, 613, 619, 641, 647, 653, 673 (insgesamt 30 Primzahlen)
4	593	97, 193, 257, 353, 389, 449, 487, 577 (insgesamt 8 Primzahlen)
5	563	193, 257, 449
6	547	257
7	547	257
8	541	---

Eigenschaften

• Für die Potenz $a=1$ gibt es nur vier Higgs-Primzahlen:

2, 3, 7, 43

Beweis:

Angenommen, es gibt eine Primzahl $p>2\cdot 3\cdot 7\cdot 43=1806$ (die nächste ist $p=1811$), welche eine Higgs-Primzahl für die Potenz $a=1$ ist. Dann muss $p-1\ge 1810$ ein Teiler aller vorherigen Higgs-Primzahlen für die Potenz $a=1$, also von $(2\cdot 3\cdot 7\cdot 43{)}^1=1806$ sein. Dies kann aber nicht der Fall sein, weil $p-1\ge 1810$ kein Teiler der kleineren Zahl $1806$ sein kann. Somit scheiden alle Primzahlen $p\ge 1811$ aus. Alle Primzahlen $1811>p>43$ scheiden durch einfache Computer-Berechnungen aus. $◻$

• Alle bekannten Fermatschen Primzahlen $2^{2^n}+1$ sind keine Higgs-Primzahlen für die $a$-ten Potenzen mit $a<2^n$.

Beweis:

Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass

• die erste Fermatsche Primzahl $2^{2^0}+1=2^1+1=3$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^0=1$ ist.
• die zweite Fermatsche Primzahl $2^{2^1}+1=2^2+1=5$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^1=2$ ist.
• die dritte Fermatsche Primzahl $2^{2^2}+1=2^4+1=17$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^2=4$ ist.
• die vierte Fermatsche Primzahl $2^{2^3}+1=2^8+1=257$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^3=8$ ist.
• die fünfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl $2^{2^4}+1=2^{1}6+1=65537$ keine Higgs-Primzahl für $a<2^4=16$ ist. $◻$

• Etwa ein Fünftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs-Primzahlen.

Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus, dass, selbst wenn die Anzahl der Higgs-Primzahlen für die Potenz $a=2$ endlich ist, „eine Computerzählung nicht möglich ist“.

Ungelöste Probleme

• Es ist nicht bekannt, ob unendlich viele Higgs-Primzahlen für Exponenten $a\ge 2$ existieren.