Heun-Verfahren

Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und ist ein Beispiel für ein zweistufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren.

Im Gegensatz zum expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.

Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems

$y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite $h>0$, betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_{k+1}=t_0+kh,k=0,1,2,\dots$

und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren

$y_{k+1}^{[P]}=y_k+hf(t_k,y_k),k=0,1,2,\dots$

und dann

$y_{k+1}=y_k+\frac{1}{2}h(f(t_k,y_k)+f(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]})),k=0,1,2,\dots$

was sich umformen lässt zu

$y_{k+1}=\frac{1}{2}{y}_k+\frac{1}{2}(y_{k+1}^{[P]}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]})),k=0,1,2,\dots$

Die $y_k$ sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion $y(t)$ zu den Zeitpunkten $t_k$.

Mit $h$ wird die Schrittweite bezeichnet. Verkleinert man diese, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die $y_k$ liegen näher am tatsächlichen Funktionswert $y(t_k)$). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit $h^2$ gegen null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.

Ähnliche Einschrittverfahren

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