Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Eine abkürzende Bezeichnung dieses Verfahrens lautet RK4. Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten reduziert werden. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Details

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren mittelt in jedem Schritt vier Hilfssteigungen (rot)

Sei

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0,y:ℝ\to {ℝ}^d$

ein Anfangsproblem 1. Ordnung.

Mit der Schrittweite $h$ besitzt das klassische Runge-Kutta-Verfahren zur Berechnung der Näherung $u_{i+1}\approx y(t_{i+1})$ die Verfahrensfunktion

$\mathrm{\Phi }(t_i,u_i,h,f)=\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

mit

$\begin{array}{cc}{k}_1& =f(t_i,u_i),\\ k_2& =f(t_i+\frac{h}{2},u_i+\frac{h}{2}{k}_1),\\ k_3& =f(t_i+\frac{h}{2},u_i+\frac{h}{2}{k}_2),\\ k_4& =f(t_i+h,u_i+h{k}_3).\end{array}$

Die Rekursionsgleichung zur Berechnung der Näherung lautet dann

$u_{i+1}=u_i+h\cdot \mathrm{\Phi }(t_i,u_i,h,f)=u_i+h\cdot \frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),i=0,1,\dots$

Das Verfahren benötigt in jedem Schritt der Rekursion vier Auswertungen der Funktion $f$. Für mindestens viermal stetig differenzierbares $f$ zeigt eine Taylor-Entwicklung nach der Schrittweite $h$, dass es sich bei dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren um ein Verfahren mit Konsistenzordnung 4 handelt.

Die charakteristischen Koeffizienten des Verfahrens können in einem Butcher-Tableau zusammengefasst werden zu:

$\begin{array}{ccccc}0& & & & \\ 1/2& 1/2& & & \\ 1/2& 0& 1/2& & \\ 1& 0& 0& 1& \\ & 1/6& 1/3& 1/3& 1/6\end{array}$

Literatur

• Ernst Hairer, Nørsett, Syvert P., Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations. Band 1: Nonstiff Problems. 2. revised edition. Springer Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-56670-8 (Springer series in computational mathematics 8), (Auch Nachdruck: ebenda 2008, ISBN 978-3-642-05163-0).
• Peter Deuflhard, Folkmar Bornemann: Numerische Mathematik. Band 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. vollständige überarbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017181-3.