Herman-Ring

In der Mathematik sind Herman-Ringe (auch Arnold-Herman-Ringe) ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um ringförmige Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

Herman-Ringe der Abbildung $f(z)=\frac{e^{2\pi i\tau }{z}^2(z-4)}{1-4z}$, wobei $\tau =0,6151732\dots$ so gewählt wurde, dass die Rotationszahl von $f$ auf dem Einheitskreis $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ beträgt.

Sei $f:S\to S$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.

Eine Zusammenhangskomponente $U$ der Fatou-Menge $ℱ(f)$ heißt Herman-Ring, wenn es eine biholomorphe Abbildung

$\varphi :U\to R$

auf ein Ringgebiet

$R=\{z\in ℂ:r<|z|<1\}$

mit $r>0$ gibt, so dass $\varphi f{\varphi }^{-1}$ eine irrationale Drehung, also

$\varphi f{\varphi }^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z$

für ein $\alpha \in ℝ\setminus \mathbb{Q}$ ist.

Geschichte

Nach Fatous Klassifikation invarianter Komponenten der Fatou-Menge für die Iteration einer rationalen Funktion $f$ müssen diese entweder Attraktionsgebiete, parabolische Gebiete oder Rotationsgebiete sein. Rotationsgebiete sind mit heutigen Bezeichnungen entweder Siegel-Scheiben oder Herman-Ringe. Die Existenz von Siegel-Scheiben wurde 1942 von Siegel bewiesen, während die Existenz von Herman-Ringen lange offen war und erst 1979 von Herman (mit Hilfe eines Satzes von Arnold über die Lösbarkeit einer gewissen Funktionalgleichung) bewiesen wurde.

Literatur

• Michael Herman: Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publications Mathématiques de l’IHÉS 49, 5–233 (1979)

Weblinks

• Arnold-Herman-Ring (Lexikon der Mathematik)