Siegel-Scheibe

Siegel-Scheiben der Abbildung $f(z)=z^2+e^{2\pi i\frac{\sqrt{5}-1}{2}}z$

In der Mathematik sind Siegel-Scheiben ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

Sei $f:S\to S$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen. Eine Zusammenhangskomponente $U$ der Fatou-Menge $ℱ(f)$ heißt Siegel-Scheibe um $z_0\in U$, wenn es eine biholomorphe Abbildung $\varphi :U\to D$ auf die Einheitskreisscheibe $D$ mit $\varphi (z_0)=0$ gibt, so dass $\varphi f{\varphi }^{-1}$ eine irrationale Drehung, also $\varphi f{\varphi }^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z$ für ein $\alpha \in ℝ\setminus \mathbb{Q}$ ist.

Die Frage, ob es zu gegebenem $f$ und $z_0$ eine Siegel-Scheibe gibt, wird in älterer Literatur als Zentrumsproblem bezeichnet.

Sätze von Siegel und Brjuno

Damit es eine Siegel-Scheibe geben kann, muss die Rotationszahl $f^{\prime }(z_0)$ von der Form $e^{2\pi i\alpha }$ mit einer irrationalen Zahl $\alpha$ sein.

Siegel bewies 1942, dass es eine Siegel-Scheibe gibt, wenn man Konstanten $C>0$ und $\nu \ge 2$ findet, so dass $|\alpha -\frac{p}{q}|\ge \frac{C}{q^{\nu }}$ für alle rationalen Zahlen $\frac{p}{q}$ gilt.

Rüßmann und Brjuno verbesserten diese arithmetische Bedingung Ende der 1960er Jahre.

Satz von Brjuno: Es gibt eine Siegel-Scheibe, wenn für die Folge $\frac{p_n}{q_n}$ in der Kettenbruchentwicklung von $\alpha$ gilt: $\sum _n\frac{\log q_{n+1}}{q_n}<\mathrm{\infty }$. (Solche Zahlen werden als Brjuno-Zahlen bezeichnet.)

Yoccoz bewies 1988, dass Brjunos Bedingung optimal ist. Zu jeder Zahl $\alpha$, die keine Brjuno-Zahl ist, ist $f(z)=z^2+e^{2\pi i\alpha }z$ eine nicht-linearisierbare holomorphe Funktion.

Literatur

• Carl Ludwig Siegel: Iteration of analytic functions, Ann. Math. 43, 607–612 (1942)
• Alexander D. Brjuno: Analytic form of differential equations. I, II, Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva 25, 119–262 (1971)
• Jean-Christophe Yoccoz: Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques, Petits diviseurs en dimension 1, Astérisque 231, 3–88 (1995)

Weblinks

• Scholarpedia: Siegel disks/Linearization