Henkelzerlegung

In der Differentialtopologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Henkelzerlegung die Grundlage für die Klassifikation und Beschreibung von Mannigfaltigkeiten.

Definition: Ankleben eines Henkels

Diese 3-dimensionale Mannigfaltigkeit entsteht durch Ankleben dreier 1-Henkel an einen 0-Henkel.

Notation: $B^n$ bezeichne die $n$-dimensionale Vollkugel, $S^{n-1}=\partial B^n$ die $(n-1)$-dimensionale Sphäre.

Im Folgenden bezeichnen wir als $k$-Henkel einer $m$-dimensionalen Mannigfaltigkeit das Produkt

$H_k=B^k\times B^{m-k}$

mit der durch die Produktstruktur gegebenen Zerlegung

$\partial H_k=S^{k-1}\times B^{m-k}\cup B^k\times S^{m-k-1}$.

$B^k\times \left\{0\right\}$ wird als Kern und $\left\{0\right\}\times B^{m-k}$ als Kokern des Henkels bezeichnet.

Nun sei $M$ eine $m$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Das Ergebnis des Anklebens eines $k$-Henkels ist die Mannigfaltigkeit

$M{\cup }_f{H}_k=(M\bigsqcup (B^k\times B^{m-k}))/\sim$

mit der Äquivalenzrelation $\sim$ erzeugt durch $(p,x)\sim f(p,x)$ für alle $(p,x)\in S^{k-1}\times B^{m-k}\subset B^k\times B^{m-k}$,

für eine Einbettung $f:S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$. Durch kanonisches Glätten der Ecken erhält man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. (Insbesondere ist das Ankleben eines $0$-Henkels die disjunkte Vereinigung mit einem $m$-Ball $B^m$).

Die so erhaltene Mannigfaltigkeit ist eindeutig bestimmt durch die Einbettung $f:S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$ oder äquivalent durch eine gerahmte Einbettung $S^{k-1}\to \partial M$.

Die Sphäre $S^{k-1}\times \left\{0\right\}$ heißt die Anklebesphäre und die Sphäre $\left\{0\right\}\times S^{m-k-1}$ heißt die Gürtelsphäre.

Henkelzerlegung

Jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit besitzt eine Henkelzerlegung.

Der Beweis dieses Satzes benutzt Morse-Theorie. Zu jeder differenzierteren Mannigfaltigkeit $M$ gibt es eine Morse-Funktion $f:M\to ℝ$, deren kritische Punkte unterschiedlichen Funktionswerten entsprechen (und nicht auf dem Rand liegen). Der Satz folgt dann mittels vollständiger Induktion aus folgender lokalen Beschreibung der Umgebung eines kritischen Punktes.

Es sei $f:M\to ℝ$ eine $C^{\mathrm{\infty }}$-Funktion mit genau einem kritischen Punkt in $f^{-1}(0)$ und keinen weiteren kritischen Punkten in $f^{-1}([-ϵ,ϵ])$ (für ein geeignetes $ϵ>0$). Dann entsteht $f^{-1}([-\mathrm{\infty },ϵ])$ aus $f^{-1}([-\mathrm{\infty },-ϵ])$ durch Ankleben eines $k$-Henkels, wobei $k$ der Index des kritischen Punktes in $f^{-1}(0)$ ist.

Dieser Satz geht auf Stephen Smale zurück, der 1961 einen Beweis skizzierte und die Henkel-Zerlegung dann zum Beweis der Poincaré-Vermutung in Dimensionen $\ge 5$ benutzte. John Milnor bewies in seinem Buch „Morse Theory“ eine schwächere Version, die besagt, dass $f^{-1}([-\mathrm{\infty },ϵ])$ homotopieäquivalent zu dem aus $f^{-1}([-\mathrm{\infty },-ϵ])$ durch Ankleben einer k-Zelle entstehenden Raum ist. Ein vollständiger Beweis wurde 1963 von Palais gegeben. vereinfachte Fassungen finden sich bei Fukui und Madsen-Tornehave.

Niedrigdimensionale Beispiele

• Klassifikation der Flächen: Jede geschlossene, orientierbare Fläche besitzt eine Henkelzerlegung aus einem 0-Henkel, $2g$ 1-Henkeln und einem 2-Henkel. Die Zahl $g$ ist das Geschlecht der Fläche.
• Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten: Ein (3-dimensionaler) Henkelkörper vom Geschlecht $g$ entsteht durch Ankleben von $g$ 1-Henkeln an einen 0-Henkel. Als Heegaard-Zerlegung bezeichnet man die Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in zwei Henkelkörper. Jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit besitzt eine Heegaard-Zerlegung, das minimal mögliche $g$ wird als Heegaard-Geschlecht bezeichnet. Eine Heegaard-Zerlegung bestimmt eine Henkelzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in einen 0-Henkel, $g$ 1-Henkel, $g$ 2-Henkel und einen 3-Henkel.
• Kirby-Kalkül: Henkelzerlegungen 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten werden durch Kirby-Diagramme beschrieben.

Relative Henkelzerlegung

Es sei $M$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes $\partial M$ in (möglicherweise leere) Teilmengen

$\partial M={\partial }_{+}M\bigsqcup {\partial }_{-}M$.

Eine Henkelzerlegung von $M$ relativ zu ${\partial }_{-}M$ ist eine Darstellung von $M$ als durch sukzessives Ankleben von Henkeln an ${\partial }_{-}M\times [0,1]$ konstruierte Mannigfaltigkeit. Mittels Morse-Theorie kann man zeigen, dass es zu jedem solchen Paar $(M,{\partial }_{-}M)$ eine Henkelzerlegung von $M$ relativ zu ${\partial }_{-}M$ gibt.

Cerf-Theorie

Zwei Henkelzerlegungen derselben Mannigfaltigkeit lassen sich durch Henkelgleiten (engl.: handle slide) und Hinzufūgen oder Weglassen zweier komplementärer Henkel (engl.: cancellation) ineinander überführen.

Henkelgleiten

Die Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ entstehe aus $M$ durch Ankleben eines $k$-Henkels mittels der Anklebe-Abbildung $\varphi :S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M$. Es sei $h:M\times [0,1]\to M$ eine Isotopie mit $h_0=id$ und $h:=h_1$. Dann ist die durch Ankleben eines $k$-Henkels an $M$ mittels der Verklebeabbildung $h\circ \varphi$ konstruierte Mannigfaltigkeit $M^{\prime \prime }$ diffeomorph zu $M^{\prime }$.

Insbesondere kann man einen $k$-Henkel stets so ankleben, dass seine Anklebesphäre disjunkt von den Gürtelsphären aller $l$-Henkel mit $l\ge k$ ist. Als Folgerung daraus kann man für jede kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Henkelzerlegung so konstruieren, dass Henkel in aufsteigender Folge ihrer Indizes an eine Menge von $0$-Henkeln angeklebt werden, d. h. für $l\ge k$ werden die $l$-Henkel nach den $k$-Henkeln angeklebt.

Komplementäre Henkel

Ein $k$-Henkel und ein $(k+1)$-Henkel heißen komplementär, wenn die Anklebesphäre des $(k+1)$-Henkels die Gürtelsphäre des $k$-Henkels in genau einem Punkt transversal schneidet.

Wenn eine Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ aus einer Mannigfaltigkeit $M$ durch Ankleben eines $k$-Henkels und anschließendes Ankleben eines zu diesem komplementären $(k+1)$-Henkels entsteht, dann ist $M^{\prime }$ diffeomorph zu $M$. Als Folgerung daraus kann man eine Henkel-Zerlegung stets so wählen, dass es genau einen 0-Henkel gibt und weiterhin, falls $\partial M=\mathrm{\varnothing }$ bzw. $\partial M=\mathrm{\varnothing }$ so dass es genau einen bzw. keinen $m$-Henkel mit $m=\dim (M)$ gibt.

Satz von Cerf

Zwei (relative) Henkelzerlegungen eines Paares $(M,{\partial }_{-}M)$ (mit in aufsteigender Reihenfolge der Indizes angeklebten Henkeln) lassen sich durch eine Folge von Henkel-Gleiten, Hinzufügen/Entfernen eines komplementären Henkelpaares und Isotopien ineinander überführen.

Chirurgien (Sphärische Modifikationen) und Zusammenhang zur Kobordismustheorie

2-Chirurgie der 2-Sphäre

Wenn eine Mannigfaltigkeit $M^{\prime }$ aus $M$ durch Ankleben eines $k$-Henkels entsteht, dann entsteht die (m-1)-Mannigfaltigkeit $\partial M^{\prime }$ aus $\partial M$ durch eine $(k-1)$-Chirurgie, d. h. durch Ausschneiden der eingebetteten $S^{k-1}\times D^{m-k}$ und anschließendes Einkleben von $D^k\times S^{p-k-1}$ mittels der kanonischen Identifikation

$\partial (D^k\times S^{m-k-1})=S^{k-1}\times S^{m-k-1}=\partial (S^{k-1}\times D^{m-k})$.

(Diese Chirurgien werden in der Literatur auch als sphärische Modifikationen bezeichnet.)

Sei $W$ ein Kobordismus zwischen geschlossenen Mannigfaltigkeiten $M_0$ und $M_1$, also eine kompakte Mannigfaltigkeit $W$ mit $\partial W=M_0\bigsqcup M_1$. Dann erhält man mit dem Satz von Smale eine Henkelzerlegung von $W$ relativ zu $M_0$ und mithin eine Konstruktion von $M_1$ aus $M_0$ durch eine Abfolge von Chirurgien (sphärischen Modifikationen).

Literatur

• Robert E. Gompf, András I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus (= Graduate Studies in Mathematics. 20). American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0994-6.
• Yukio Matsumoto: An introduction to Morse theory (= Translations of Mathematical Monographs. 208 = Iwanami Series in Modern Mathematics.). Translated from the 1997 Japanese original by Kiki Hudson and Masahico Saito. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-1022-7.

Weblinks

• Handlebody Decomposition of a Manifold