Heintze-Karcher-Ungleichung

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt die nach Ernst Heintze und Hermann Karcher benannte Heintze-Karcher-Ungleichung eine Abschätzung für das Volumen eines Gebietes in Abhängigkeit von der mittleren Krümmung des Randes und der Ricci-Krümmung der umgebenden Mannigfaltigkeit.

Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung $Ric\ge 0$, und sei $\mathrm{\Omega }\subset M$ eine zusammenhängende Teilmenge mit zweimal stetig differenzierbarem Rand $\partial \mathrm{\Omega }$ von positiver mittlerer Krümmung $H>0$. Dann gilt für das Volumen von $\mathrm{\Omega }$ die Ungleichung

$Vol(\mathrm{\Omega })\le \frac{n-1}{n}\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\frac{1}{H}dvol$

und Gleichheit gilt nur, wenn $\mathrm{\Omega }$ isometrisch zu einer Vollkugel im euklidischen Raum ${ℝ}^n$ ist.

Literatur

• E. Heintze, H. Karcher: A general comparison theorem with applications to volume estimates for submanifolds. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 11, No. 4, 451–470 (1978).
• A. Ros: Compact hypersurfaces with constant higher order mean curvatures. Rev. Mat. Iberoam. 3, No. 3–4, 447–453 (1987).