Mittlere Krümmung

Die mittlere Krümmung ist neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff in der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ${ℝ}^3$, einem Gebiet der Differentialgeometrie.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im ${ℝ}^3$ und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung $H$ der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen $k_1$ und $k_2$. Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als

$H:=\frac{1}{2}(k_1+k_2).$

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche $H=0$ bzw. $k_1=-k_2$ gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des ${ℝ}^{n+1}$ durch $H:=\frac{1}{n}\mathrm{Spur}(S)$ definieren. Dabei ist $S$ die Weingarten-Abbildung und $\mathrm{Spur}$ bezeichnet die Spur einer Matrix.

Berechnung

• Sind $E$, $F$, $G$ bzw. $L$, $M$, $N$ die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel

$H=\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}$

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform $E=G$ und $F=0$ gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu

$H=\frac{L+N}{2E}.$

• Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion $f$ über dem Parameterbereich $U$, also $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ für alle $(u,v)\in U$, so gilt für die mittlere Krümmung:

$H=\frac{(1+f_v^2)f_{uu}-2f_u{f}_v{f}_{uv}+(1+f_u^2)f_{vv}}{2{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}}^3}$.

Hierbei bezeichnen $f_u$ und $f_v$ die ersten und $f_{uu}$, $f_{uv}$ und $f_{vv}$ die zweiten partiellen Ableitungen von $f$.

Beispiele

• Die Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$ hat die mittlere Krümmung $H=\frac{1}{r}$.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius $r$ ist die mittlere Krümmung gleich $H=\frac{1}{2r}$

Weitere Eigenschaften

• Für eine Fläche $X=X(u,v)$ gilt die Gleichung

$H\overrightarrow{n}=g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}X,$

mit der Einheitsnormale $\overrightarrow{n}$, $g_{ij}$ als erster Fundamentalform und ${\mathrm{\nabla }}_i$ der kovarianten Ableitung.

• Wenn eine Fläche $X=X(u,v)$ isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem

$\mathrm{\Delta }X=2H{X}_u\times X_v.$

• Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion $F$ gegeben, so gilt

$2H=-\mathrm{div}\overrightarrow{n}=-\mathrm{div}\frac{\mathrm{\nabla }F}{|\mathrm{\nabla }F|}.$

Dabei ist $\mathrm{div}$ die Divergenz und $\overrightarrow{n}$ das Einheitsnormalenfeld $\frac{\mathrm{\nabla }F}{|\mathrm{\nabla }F|}.$ Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur

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