Harnacksches Prinzip

Das Harnacksche Prinzip, auch als Satz von Harnack zitiert, ist ein grundlegender Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie, welcher auf den Mathematiker Axel Harnack (1851–1888) zurückgeht, der diesen Satz in einer Arbeit des Jahres 1886 vorgetragen hat. Das Harnacksche Prinzip behandelt das Konvergenzverhalten monoton wachsender Folgen harmonischer Funktionen. Es beruht auf der ebenfalls von Axel Harnack gefundenen und nach ihm benannten Ungleichung.

Formulierung des Prinzips im klassischen komplexen Fall

Gegeben sei eine offene Menge $D\subset ℂ$ und dazu eine Folge $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ harmonischer Funktionen $u_n:D\to ℝ$ $(n\in \mathbb{N})$, welche punktweise monoton anwachse:

$u_1(z)\le u_2(z)\le \dots$ $(z\in D)$.

Sei für $z\in D$

$u(z)=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }{u}_n(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n(z)$

Seien weiter

$D_0=\{z\in D:u(z)<\mathrm{\infty }\}$

und

$D_1=\{z\in D:u(z)=\mathrm{\infty }\}$

Dann gilt:

(1) Sowohl $D_0$ als auch $D_1$ sind zugleich offen und abgeschlossen in $D$.

(2) Für den Fall, dass $D$ ein Gebiet von $ℂ$ ist, gilt entweder stets $u(z)=\mathrm{\infty }$ für $z\in D$ oder stets $u(z)<\mathrm{\infty }$ für $z\in D$.

(3) Ist $D$ ein Gebiet von $ℂ$ und gilt $u(z_0)<\mathrm{\infty }$ für ein $z_0\in D$ , so ist die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergent und die Grenzfunktion $u$ ist ebenfalls eine harmonische Funktion.

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Wie schon Axel Harnack selbst andeutet, gilt das entsprechende Prinzip mit ganz ähnlicher Formulierung auch für den Fall der harmonischen Funktionen auf offenen Mengen des ${ℝ}^n$ . Hier beruht der Beweis auf der n-dimensionalen Version der Harnackschen Ungleichung.

Literatur

Originalarbeit

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