Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation, welche im Kern auf den Bessel-Funktionen erster Gattung basiert. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel. Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern.

Definition

Bei der Hankel-Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen, sie zu definieren. Sei $f$ eine komplexwertige Funktion und $\nu >-\frac{1}{2}$. Dann kann man die Hankel-Transformation ${\mathrm{H}}_{\nu }$ der Ordnung $\nu$ von $f$ durch

$F_{\nu }(u)={\mathrm{H}}_{\nu }\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot J_{\nu }(ut)\cdot t\mathrm{d}t$

definieren, dabei sind die

$J_{\nu }(x):=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^r(\frac{x}{2}{)}^{2r+\nu }}{\mathrm{\Gamma }(\nu +r+1)r!}$

Bessel-Funktionen erster Gattung und $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ ist die Gammafunktion. Insofern das Integral existiert, nennt man ${\mathrm{H}}_{\nu }\{f(t)\}$ die Hankel-Transformierte von $f$. Diese Konvention der Hankel-Transformation wird überwiegend in diesem Artikel verwendet. In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet, worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird.

Eine andere Möglichkeit die Hankel-Transformation der Ordnung $\nu >-\frac{1}{2}$ von $f$ zu definieren, ist

$F_{\nu }(u)={\mathrm{H}}_{\nu }\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot \sqrt{ut}\cdot J_{\nu }(ut)\mathrm{d}t.$

Hier werden mit $J_{\nu }$ ebenfalls die Bessel-Funktionen erster Gattung bezeichnet und ${\mathrm{H}}_{\nu }\{f(t)\}$ heißt auch hier Hankel-Transformierte, insofern das Integral existiert.

Inverse Hankel-Transformation

Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation ist es auch bei der Hankel-Transformation unter gewissen Umständen möglich, aus der Hankel-Transformierten ihre Ausgangsfunktion zurückzugewinnen. Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel-Transformation besagt, dass, falls $f\in L^1(]0,\mathrm{\infty }[)$ eine Lebesgue-integrierbare Funktion mit beschränkter Variation ist, die Ausgangsfunktion $f$ aus der Hankel-Transformierten $F_{\nu }$ mit der inversen Integraltransformation

$f(t)={\mathrm{H}}_{\nu }^{-1}\{F_{\nu }(u)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(u)\cdot J_{\nu }(ut)\cdot u\mathrm{d}u$

zurückgewonnen werden kann. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich. Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden. Für die alternative Definition gilt diese Aussage analog.

Eigenschaften

Orthogonalität

Die Bessel-Funktionen bilden eine Orthogonalbasis: Es gilt

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{\nu }(ut)\cdot J_{\nu }(u^{\prime }t)\cdot t\mathrm{d}t=\frac{\delta (u-u^{\prime })}{u}$

für $u$ und $u^{\prime }$ größer 0 und mit $\delta$ als der Delta-Distribution.

Algebraisierung des besselschen Differentialoperators

Sei

$B_{\nu }(f):=(r^2\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{r}^2}+r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}+(r^2-{\nu }^2))(f)$

der besselsche Differentialoperator. Für die Bessel-Funktionen gilt also $B_{\nu }(J_{\nu })=0$. Mit Hilfe der Hankel-Transformation ist es möglich, diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu überführen. Präzise gilt

${\mathrm{H}}_{\nu }(B_{\nu }(f))(s)=-s^2{\mathrm{H}}_{\nu }(f)(s).$

Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen.

Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Hankel-Transformation hat einige Analogien zur Fourier-Transformation. Insbesondere lässt sich die Hankel-Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier-Transformation berechnen. Sei dazu $\varphi :{ℝ}^2\to ℂ$ eine radialsymmetrische Funktion. Das heißt, die Funktion $f(r,\theta ):=\varphi (r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))$ ist unabhängig von $\theta$, weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter $r$ notiert wird. Von dieser Funktion $f$ wird nun mit Hilfe der Funktion $\varphi$ und der Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte beschrieben.

Um dies zu sehen, wird das Fourier-Integral

$ℱ(\varphi )({\xi }_1,{\xi }_2)=\frac{1}{2\pi }\underset{{ℝ}^2}{\int }\varphi (x,y)e^{-i(x{\xi }_1+y{\xi }_2)}\mathrm{d}(x,y)$

von $\varphi$ in Polarkoordinaten transformiert, was zu

$\begin{array}{cc}ℱ(\varphi )(s\cos (\sigma ),s\sin (\sigma ))=& \frac{1}{2\pi }\underset{r=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}\varphi (r\cos (\theta ),r\sin (\theta ))e^{-isr\cos (\theta -\sigma )}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r\\ =& \frac{1}{2\pi }\underset{r=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}rf(r)\underset{\alpha =0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-isr\cos (\alpha )}\mathrm{d}\alpha \mathrm{d}r\\ =& \underset{r=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}rf(r)J_0(sr)\mathrm{d}r\end{array}$

führt. Dies zeigt, dass eine Fourier-Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel-Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht. Insbesondere ist es möglich, zu einer gegebenen Funktion $f:]0,\mathrm{\infty }[\to ℂ$ eine entsprechende radialsymmetrische Funktion $\varphi$ zu konstruieren, mit der man durch Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte von $f$ berechnen kann.

Hankel-Transformation für Distributionen

Ebenfalls wie bei der Fourier-Transformation ist es bei der Hankel-Transformation auf analoge Weise möglich, sie auf Distributionen zu verallgemeinern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation kann die Hankel-Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden. Daher definiert man einen neuen Raum $H_{\nu }(]0,\mathrm{\infty }[)$ und erklärt die Hankel-Transformation für Distributionen auf seinem Dualraum.

Distributionenraum

Sei $\nu \in ℝ$, dann ist $H_{\nu }(]0,\mathrm{\infty }[)$ definiert durch

$H_{\nu }(]0,\mathrm{\infty }[):=\{\varphi \in C^{\mathrm{\infty }}(]0,\mathrm{\infty }[)|\mathrm{\forall }k,m\in {\mathbb{N}}_0:\underset{x\in ]0,\mathrm{\infty }[}{\sup }|x^m{\left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}^k(x^{-\nu -\frac{1}{2}}\varphi (x))|<\mathrm{\infty }\}.$

Auf diesem Vektorraum wird zusätzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert. Eine Folge $({\varphi }_j)\subset H_{\nu }(]0,\mathrm{\infty }[)$ konvergiert genau dann gegen Null, wenn

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in ]0,\mathrm{\infty }[}{\sup }|x^m{\left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}^k(x^{-\nu -\frac{1}{2}}{\varphi }_j(x))|=0$

für alle $k,m\in {\mathbb{N}}_0$ gilt. Durch Bilden des topologischen Dualraums erhält man den Distributionenraum ${H_{\nu }}^{\prime }(]0,\mathrm{\infty }[)$, auf dem man die Hankel-Transformation definieren kann. Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Träger in $]0,\mathrm{\infty }[$, wie die Delta-Distribution eine ist, in dem Raum ${H_{\nu }}^{\prime }(]0,\mathrm{\infty }[)$ enthalten.

Hankel-Transformation

Für $T\in {H_{\nu }}^{\prime }(]0,\mathrm{\infty }[)$ ist die Hankel-Transformation für alle $\varphi \in H_{\nu }(]0,\mathrm{\infty }[)$ definiert durch

${\mathrm{H}}_{\nu }(T)(\varphi ):=T({\mathrm{H}}_{\nu }(\varphi )).$

Der Ausdruck ${\mathrm{H}}_{\nu }(\varphi )$ ist wieder eine Hankel-Transformation einer Funktion und daher definiert. Aufgrund der Konstruktion des Raums $H_{\nu }(]0,\mathrm{\infty }[)$ wird hier allerdings die Konvention ${\mathrm{H}}_{\nu }(\varphi )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\sqrt{ut}{J}_{\nu }(ut)\mathrm{d}t$ für die Transformation verwendet.

Wie bei der Fourier-Transformation für Distributionen führt man auch die Hankel-Transformation nicht auf der Distribution selbst aus, sondern sie wird auf der Testfunktion $\varphi$ berechnet.

Beispiele

Signal $f(t)$	Hankel-Transformierte $F_0(u):={\mathrm{H}}_0(f)(u)$
$1$	$\delta (u)/u$, gültig für $u\ne 0$
$1/t$	$1/u$
$t$	$-1/u^3$
$t^3$	$9/u^5$
$t^m$	$\frac{2^{m+1}\mathrm{\Gamma }(m/2+1)}{u^{m+2}\mathrm{\Gamma }(-m/2)}$, gültig für ungerades $m$
$\frac{1}{\sqrt{t^2+z^2}}$	$\frac{e^{-u|z|}}{u}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi u}}{K}_{-1/2}(u|z|)$
$\frac{1}{t^2+z^2}$	$K_0(uz)$, $z\in ℂ$
$e^{\mathrm{i}at}/t$	$\mathrm{i}/\sqrt{a^2-u^2}(a>0,u<a)$ $1/\sqrt{u^2-a^2}(a>0,u>a)$
$e^{-a^2{t}^2/2}$	$\frac{e^{-u^2/(2a^2)}}{a^2}$
$-t^{2}f(t)$	$\frac{d^2{F}_{\nu }}{d{u}^2}+\frac{1}{u}\frac{d{F}_{\nu }}{du}$

In diesem Abschnitt wird mit $K_n(z)$ die Bessel-Funktionen zweiter Gattung $n$-ter Ordnung, mit $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion, mit $\mathrm{i}$ die imaginäre Einheit und mit $\delta$ wieder die Delta-Distribution bezeichnet. In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusätzlich einige Paare von Hankel-Transformationen gelistet.

Die Hyperbel 1/t

Für die Hankel-Transformierte nullter Ordnung von $\frac{1}{t}$ gilt

$\begin{array}{cc}{\mathrm{H}}_0\left(\frac{1}{t}\right)(s)=& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t\cdot \frac{1}{t}\cdot J_0(st)\mathrm{d}t\\ =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_0(st)\mathrm{d}t\\ =& \frac{1}{s}\end{array}$.

Die Funktion $\frac{1}{t}$ ist also ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

Die Gaußsche Glockenkurve

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel-Transformation von der gaußschen Glockenkurve $e^{-\frac{x^2}{2}}$ mit Hilfe der Fourier-Transformation skizziert. Da die Funktion analytisch ist, kann sie auf $ℂ\cong {ℝ}^2$ fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch. Daher kann die Hankel-Transformierte mit der Fourier-Transformation über ${ℝ}^2$ berechnet werden. Für die Fourier-Transformation ist $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ein Fixpunkt, woraus folgt, dass die Hankel-Transformierte von $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ebenfalls wieder $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ist. Also ist die gaußsche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

Die Delta-Distribution

In diesem Beispiel wird die Hankel-Transformation nullter Ordnung der Delta-Distribution $\delta$ berechnet. Es gilt

$\begin{array}{cc}{\mathrm{H}}_0(\frac{1}{u}{\delta }_0)(\varphi )=& {\mathrm{H}}_0({\delta }_0)(\frac{1}{u}\varphi )={\delta }_0({\mathrm{H}}_0(\frac{1}{u}\varphi ))={\mathrm{H}}_0(\frac{1}{u}\varphi )(0)\\ =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u}{u}{J}_0(0)\varphi (u)\mathrm{d}u\\ =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (u)\mathrm{d}u\end{array}$.

Der Ausdruck ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\varphi (u)\mathrm{d}u$ ist als Distribution, die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird, zu verstehen. Im Bereich der Physik notiert man die Delta-Distribution oftmals unpräzise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional. In diesem Fall kürzt sich die Berechnung der Hankel-Transformation auf

${\mathrm{H}}_0(\frac{1}{u}{\delta }_0)(t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (u)\cdot \frac{1}{u}\cdot u\cdot J_0(tu)\mathrm{d}u=J_0(0)=1$.

Möchte man umgekehrt die Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen, stößt man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral. Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem möglich, die Delta-Distribution als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen.

Quellen

• Vorlage:Literatur

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• L. S. Dube, J. N. Pandey: On the Hankel transform of distributions Tohoku Math. J. (2) Volume 27, Number 3 (1975), 337–354.

Weblinks

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