Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel

Die Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel $H(\mathbb{Q})$ besteht aus den Punkten $(x,y)$ mit rationalen Koordinaten, für die $x^2-y^2=1$ gilt. Die Gruppe $H(\mathbb{Q})$ besteht aus der Vereinigung beider Hyperbeläste, jeweils für $x<0$ und $x>0$.

Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt $(1,0)$. Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist $(x,y)+(t,u)=(xt+yu,xu+yt)$.

Geometrisch ist dies die Hyperbelwinkeladdition: wenn $x=\cosh (\alpha )$ und $y=\sinh (\alpha )$ ist, sowie $t=\cosh (\beta )$ und $u=\sinh (\beta )$, dann ist deren Summe $(xt+yu,xu+yt)$ der rationale Punkt auf der Einheitshyperbel mit dem Winkel $\alpha +\beta$ im Sinne der gewöhnlichen Addition von Hyperbelwinkeln. Es gilt nämlich $xt+yu=\cosh (\alpha +\beta )$ und $xu+yt=\sinh (\alpha +\beta )$. Man beachte, dass die "Winkel" jeweils nur als Parameter zu betrachten sind und nicht den tatsächlichen Winkeln der Punkte auf der Hyperbel entsprechen.

Gruppenstruktur

Die Gruppe $H(\mathbb{Q})$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von $H(\mathbb{Q})$:

$H(\mathbb{Q})\cong H^{\prime }\oplus \left(\underset{p\in \mathbb{P}}{⨁}{H}_p\right),$

wobei die Untergruppe $H^{\prime }=\{\pm (1,0)\}$ aus zwei Elementen besteht und die Untergruppen $H_p$ die unendlichen zyklischen Gruppen sind, die jeweils von dem Punkt der Form $(\frac{p^2+1}{2p},\frac{p^2-1}{2p})$ erzeugt werden.

Literatur

• Lin Tan: The Group of Rational Points on the Unit Circle. In: Mathematics Magazine. Bd. 69, Nr. 3, June 1996, S. 163–171, Vorlage:Doi, Vorlage:Webarchiv oder direkt https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1997/0025570x.di021195.02p0087x.pdf