Grothendiecks Spursatz

Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der $\frac{2}{3}$-nuklearen Operatoren. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii. Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Grothendiecks Spursatz

Vorbereitung

Approximationseigenschaft

Ein Banach-Raum $B$ hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte $K\subset B$ und jedes $\epsilon >0$ ein Operator $T$ endlichen Ranges existiert, sodass für alle $x\in K$

$\Vert x-Tx\Vert <\epsilon .$

⅔-nuklearer Operator

Sei $A$ ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum $B$ mit Approximationseigenschaft, dann ist $A$ ein $\frac{2}{3}$-Nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

$A=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k\otimes f_k$

besitzt, wobei ${\phi }_k\in B$ und $f_k\in B^{\prime }$ und

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert {\phi }_k{\Vert }^{2/3}\Vert f_k{\Vert }^{2/3}<\mathrm{\infty }.$

Grothendiecks Spursatz

Seien ${\lambda }_j(A)$ die Eigenwerte von einem $\frac{2}{3}$-nuklearen Operator $A$ mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

$\sum _j|{\lambda }_j(A)|<\mathrm{\infty }$

und es gilt

$\mathrm{tr}A=\sum _j|{\lambda }_j(A)|$

$\det (I+A)=\prod _j(1+{\lambda }_j(A)),$

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

$\mathrm{tr}A:=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mathrm{tr}(K_n)$

$\det (I+A):=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\det (I+K_n)$

mit $\Vert K_n-A\Vert \to 0.$