Graßmann-Schema

In der algebraischen Geometrie parametrisiert das Graßmann-Schema die $d$-dimensionalen Unterräume des $R^n$ für beliebige Ringe $R$.

Definition

Der Graßmann-Funktor

$𝒢(d,n):\left\{ℛ𝒾𝓃ℊ𝓈\right\}\to \left\{𝒮ℯ𝓉𝓈\right\}$

bildet einen Ring $R$ auf die Menge der direkten Summanden vom Rang $d$ des $R^n$ ab.

Das Graßmann-Schema $G(d,n)$ ist ein diesen Funktor darstellendes Schema. Es soll also gelten

$𝒢(d,n)(R)=Mor(Spec(R),G(d,n))$

für jeden Ring $R$.

Aus dem Lemma von Yoneda folgt, dass $G(d,n)$ eindeutig bestimmt ist. Die unten angegebene Konstruktion zeigt, dass es tatsächlich existiert.

Konstruktion

Das Graßmann-Schema wird wie folgt konstruiert:

$G(d,n)=Proj(\mathbb{Z}\left[x_I\right]/I_{d,n})$,

wobei die Indexmenge $I$ der Variablen die $\left(\begin{array}{c}n\\ d\end{array}\right)$ verschiedenen $d$-elementigen Teilmengen von $\{1,\dots ,n\}$ durchläuft und $I_{d,n}$ das von den Graßmann-Plücker-Relationen erzeugte Ideal ist.

Für $k=ℝ$ (oder allgemeiner $k$ einen Körper) ist $G(d,n)(k)$ die Menge der abgeschlossenen Punkte der klassischen Graßmann-Varietät.

Literatur

• Eisenbud-Harris: The Geometry of Schemes. Lecture Notes in Mathematics 197, Springer-Verlag New York. online