Gemischter Binomial-Prozess

Als gemischte Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Gemischte Binomial-Prozesse sind Verallgemeinerungen von Binomial-Prozessen in dem Sinne, als dass bei ihnen nicht eine deterministische Anzahl von Zufallsvariablen betrachtet wird, sondern eine zufällige.

Definition

Gegeben sei ein Messraum $(S,𝒜)$ sowie unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen $X_1,X_2,X_3,\dots$ mit Werten in $S$. Des Weiteren sei $Y$ eine weitere Zufallsvariable, die unabhängig von allen $X_i$ ist und fast sicher Werte in $\mathbb{N}$ annimmt. Es bezeichne ${\delta }_x$ das Dirac-Maß auf dem Punkt $x$, also

${\delta }_x(A):=\{\begin{array}{cc}1& \text{ falls }x\in A\\ 0& \text{ sonst }\end{array}$

für $A\in 𝒜$.

Dann heißt das durch

$\zeta :=\sum _{i=1}^Y{\delta }_{X_i}$

definierte zufällige Maß $\zeta$ auf $(S,𝒜)$ ein gemischter Binomial-Prozess. Ist $P$ die Verteilung der $X_i$, also $X_i\sim P$, so heißt $\zeta$ auch der durch $Y$ und $P$ gegebene gemischte Binomial-Prozess.

Eigenschaften

Intensitätsmaß und Verteilung

Für jede messbare Menge $A$ ist $\zeta (A)$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern $Y$ und $P(A)$. Es gilt also

$\zeta (A)\sim {\mathrm{Bin}}_{Y,P(A)}$.

Ist $\mathrm{E}(Y)<\mathrm{\infty }$ und sind die $X_i$ integrierbar, so gilt nach der Formel von Wald

$\mathrm{E}(\zeta (A))=\mathrm{E}(Y)\mathrm{E}({\delta }_{X_i}(A))=\mathrm{E}(Y)P(A)$.

Hierbei ist ${\delta }_{X_i}$ wieder also zufälliges Maß zu sehen. Somit ist das Intensitätsmaß $\mathrm{E}\mathrm{\zeta }$ eines gemischten Binomial-Prozesses $\zeta$ in diesem Fall durch

$\mathrm{E}\mathrm{\zeta }=\mathrm{E}(Y)P$

gegeben.

Beziehung zum Binomial-Prozess

Nimmt die Zufallsvariable $Y$ fast sicher den Wert $n$ an, so geht der gemischte Binomialprozess in einen Binomial-Prozess über, der durch $n$ und die Verteilung von $X_i$ bestimmt wird.

Laplace-Transformierte

Die Laplace-Transformation eines gemischten Binomial-Prozesses gegeben $Y=k$ ist gegeben durch

${ℒ}_{P,n}(f)={[\int \exp (-f(x))\mathrm{P}(dx)]}^k$

für alle messbaren positiven Funktionen $f$.

Literatur

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