Binomial-Prozess

Als Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Binomial-Prozesse sind den Poisson-Prozessen ähnlich, jedoch ist die Anzahl der Ereignisse pro Intervall binomialverteilt und nicht Poisson-verteilt.

Definition

Gegeben sei eine ganze Zahl $n$ und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf einem Messraum $(X,ℬ)$ sowie $n$ unabhängig, identisch und gemäß $P$ verteilte Zufallsvariablen $X_1,X_2,\dots ,X_n$. Es gilt also $X_i\sim P$ für alle $i$. Des Weiteren bezeichne ${\delta }_x$ das Dirac-Maß auf dem Punkt $x$, also

${\delta }_x(A):=\{\begin{array}{cc}1& \text{ falls }x\in A\\ 0& \text{ sonst }\end{array}$

für $A\in ℬ$.

Dann heißt das durch

$\zeta :=\sum _{i=1}^n{\delta }_{X_i}$

definierte zufällige Maß $\zeta$ auf $(X,ℬ)$ ein Binomial-Prozess.

Bemerkung

Für jede messbare Menge $A$ gilt per Definition

$\zeta (A)=\mathrm{\#}\{i\mid X_i\in A\}$

Hierbei bezeichnet $\mathrm{\#}M$ die Mächtigkeit der Menge $M$, also die Anzahl ihrer Elemente. Der Prozess zählt somit, wie viele der $n$ Zufallsvariablen Werte in der Menge $A$ annehmen. Somit ist für jede messbare Menge $A$ die Zufallsvariable $\zeta (A)$ immer binomialverteilt mit Parametern $n$ und $P(A)$, es gilt also

$\zeta (A)\sim {\mathrm{Bin}}_{n,P(A)}$.

Eigenschaften

Zugehöriger Sprungprozess

Im reellen Fall, also für $(X,ℬ)=(ℝ,ℬ(ℝ))$ ist der zum Punktprozess gehörende Sprungprozess gegeben durch

$X_t:=\zeta ((-\mathrm{\infty },t])=\mathrm{\#}\{i\mid X_i\le t\}$.

Er gibt an, wie viele der Zufallsvariablen Werte kleinergleich $t$ annehmen.

Laplace-Transformierte

Die Laplace-Transformation eines Binomial-Prozesses ist gegeben durch

${ℒ}_{P,n}(f)={[\int \exp (-f(x))\mathrm{P}(dx)]}^n$

für alle messbaren positiven Funktionen $f$.

Intensitätsmaß

Das Intensitätsmaß $\mathrm{E}\mathrm{\zeta }$ eines Binomial-Prozesses $\zeta$ ist gegeben durch

$\mathrm{E}\mathrm{\zeta }=nP$.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der Binomial-Prozesse sind gemischte Binomial-Prozesse. Dabei wird die bei Binomial-Prozessen deterministische Anzahl der Zufallsvariablen $n$ durch eine Zufallsvariable ersetzt.

Literatur

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