Gauß-Test

Der Gauß-Test oder Z-Test ist in der mathematischen Statistik eine Gruppe von Hypothesentests mit standardnormalverteilter Testprüfgröße unter der Nullhypothese. Der Test ist benannt nach Carl Friedrich Gauß.

Mit dem Gauß-Test werden anhand von Stichproben-Mittelwerten Hypothesen über die Erwartungswerte derjenigen Grundgesamtheiten geprüft, aus denen die Stichproben stammen.

Der Gauß-Test folgt einer ähnlichen Methode wie der t-Test. Der wichtigste Unterschied liegt in den Voraussetzungen für die Anwendung dieser Tests: Während der t-Test mit den empirischen Standardabweichungen der Stichproben arbeitet, müssen für den Gauß-Test die Standardabweichungen der Grundgesamtheiten bekannt sein. Des Weiteren verwendet der Gauß-Test grundsätzlich die Standardnormalverteilung als Kennwerteverteilung, während der t-Test auf die t-Verteilung zurückgreift. Somit ist der Gauß-Test für kleine Stichproben nur bedingt geeignet.

Mathematische Grundlagen

Sind $X_1,X_2,\dots ,X_n$ unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert ${\mu }_X$ und Standardabweichung ${\sigma }_X$, so ist ihr arithmetisches Mittel

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$

normalverteilt mit Erwartungswert ${\mu }_X$ und Standardabweichung ${\sigma }_X/\sqrt{n}$.

Die Stichprobenfunktion

$Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_X}\sqrt{n}$

ist dann unter der Nullhypothese ${\mu }_X={\mu }_0$ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet. Sie heißt auch Gauß-Statistik.

Die Teststatistik kann geschrieben werden als:

$Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_X}{{\sigma }_X}\sqrt{n}+\frac{{\mu }_X-{\mu }_0}{{\sigma }_X}\sqrt{n}=X+\frac{{\mu }_X-{\mu }_0}{{\sigma }_X}\sqrt{n}$,

also wie eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $X$ plus eine Zahl, die auf standardisierte Weise die Distanz zwischen dem wirklichen und dem unterstellten Erwartungswert zeigt.

Liegen außerdem unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen $Y_1,Y_2,\dots ,Y_m$ mit Erwartungswert ${\mu }_Y$, Standardabweichung ${\sigma }_Y$ und arithmetischem Mittel

$\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_i$

vor, die zusätzlich unabhängig von der $X$-Stichprobe sind, so ist $\overline{X}-\overline{Y}$ normalverteilt mit Erwartungswert ${\mu }_X-{\mu }_Y$ und Standardabweichung $\sqrt{\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m}}$.

Die Stichprobenfunktion

$Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-\delta }{\sqrt{\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m}}}$

ist dann unter der Nullhypothese ${\mu }_X-{\mu }_Y=\delta$ standardnormalverteilt und wird als Teststatistik verwendet.

Einstichproben-Gauß-Test

Anwendung

Der Einstichproben-Gauß-Test prüft anhand des arithmetischen Mittels einer Stichprobe, ob der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Stichprobe $x_1,x_2,\dots ,x_n$ bestehe aus den Ausprägungen unabhängiger Zufallsvariablen und entstamme einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert $\mu$ und bekannter Standardabweichung $\sigma$.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: $H_0:\mu ={\mu }_0$ gegen $H_1:\mu \ne {\mu }_0$
• rechtsseitigen Test: $H_0:\mu \le {\mu }_0$ gegen $H_1:\mu >{\mu }_0$
• linksseitigen Test: $H_0:\mu \ge {\mu }_0$ gegen $H_1:\mu <{\mu }_0$

Der Wert von ${\mu }_0$ wird vom Anwender vorgegeben.

Berechnung der Testprüfgröße

Mit dem Stichprobenmittelwert $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ berechnet man die Testprüfgröße $z=\sqrt{n}\cdot \frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma }$.

Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

Anwendung

Der Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben prüft anhand der arithmetischen Mittel der Stichproben, ob die Erwartungswerte der zugehörigen Grundgesamtheiten verschieden sind.

Die unabhängigen Stichproben $x_1,x_2,\dots ,x_n$ und $y_1,y_2,\dots ,y_m$ sollen auch untereinander unabhängig sein und normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannten Erwartungswerten ${\mu }_X$ bzw. ${\mu }_Y$ und bekannten Standardabweichungen ${\sigma }_X$ bzw. ${\sigma }_Y$ entstammen.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: $H_0:{\mu }_X-{\mu }_Y={\mu }_0$ gegen $H_1:{\mu }_X-{\mu }_Y\ne {\mu }_0$
• rechtsseitigen Test: $H_0:{\mu }_X-{\mu }_Y\le {\mu }_0$ gegen $H_1:{\mu }_X-{\mu }_Y>{\mu }_0$
• linksseitigen Test: $H_0:{\mu }_X-{\mu }_Y\ge {\mu }_0$ gegen $H_1:{\mu }_X-{\mu }_Y<{\mu }_0$

Der Wert von ${\mu }_0$ wird vom Anwender vorgegeben.

Berechnung der Testprüfgröße

Mit den Stichprobenmittelwerten $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$ und $\overline{y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{y}_i$ berechnet man die Testprüfgröße $z=\frac{\overline{x}-\overline{y}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_X^2}{n}+\frac{{\sigma }_Y^2}{m}}}$.

Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige (verbundene) Stichproben

Anwendung

Für den Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben müssen Paare $(x_i,y_i)$ von Messwerten vorliegen, wie man sie z. B. bei Vorher-Nachher-Messungen vorfindet. Mittels der Paardifferenzen wird geprüft, ob für diese Differenzen der Erwartungswert der zugehörigen Grundgesamtheit ungleich (bzw. kleiner oder größer) einem vorgegebenen Wert ist.

Die Differenzen $d_i=x_i-y_i$ sollen einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert $\mu$ und bekannter Standardabweichung $\sigma$ entstammen.

Es werden getestet bei einem

• zweiseitigen Test: $H_0:\mu ={\mu }_0$ gegen $H_1:\mu \ne {\mu }_0$
• rechtsseitigen Test: $H_0:\mu \le {\mu }_0$ gegen $H_1:\mu >{\mu }_0$
• linksseitigen Test: $H_0:\mu \ge {\mu }_0$ gegen $H_1:\mu <{\mu }_0$

${\mu }_0$ wird vom Anwender vorgegeben. In den meisten Anwendungsfällen wird auf „Ungleichheit“ ($H_1$) getestet; dann ist ${\mu }_0=0$.

Berechnung der Testprüfgröße

Die Differenzen $d_i$ bilden eine neue Stichprobe mit arithmetischem Mittel $\overline{d}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i$. Also kann man den Einstichproben-Gauß-Test auf die Stichprobe der Differenzen anwenden und erhält als Testprüfgröße $z=\sqrt{n}\cdot \frac{\overline{d}-{\mu }_0}{\sigma }$.

Entscheidung über die Hypothesen

Bei allen drei Gauß-Tests werden für die Entscheidung über die Annahme bzw. Verwerfung der Hypothesen die allgemeinen Kriterien für Hypothesentests angewendet. Da $Z$ unter der Nullhypothese eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, erhält man die folgenden Regeln.

	zweiseitiger Test	rechtsseitiger Test	linksseitiger Test
Hypothesen	$H_0:\mu ={\mu }_0$	$H_0:\mu \le {\mu }_0$	$H_0:\mu \ge {\mu }_0$
	$H_1:\mu \ne {\mu }_0$	$H_1:\mu >{\mu }_0$	$H_1:\mu <{\mu }_0$
Stichprobenfunktion	$Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_X}\sqrt{n}$	$Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_X}\sqrt{n}$	$Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{{\sigma }_X}\sqrt{n}$
Bedingung für Ablehnung von $H_0$ und Annahme von $H_1$	$|Z|>Z_{1-\frac{\alpha }{2}}$	$Z>Z_{1-\alpha }$	$Z<-Z_{1-\alpha }$

Gauß-Test für nicht-normalverteilte Zufallsvariablen

Für große Stichprobenumfänge (> 30 als Faustregel) kann aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes auf die Normalverteilungsannahme verzichtet werden. Wenn also die für den Gauß-Test geltenden Forderungen an die Erwartungswerte und Standardabweichungen der beteiligten Zufallsvariablen erfüllt sind, geht man davon aus, dass die für die Berechnung von z erforderlichen Summen approximativ normalverteilt sind und der Gauß-Test in guter Näherung korrekte Ergebnisse liefert.

Beispiel

Ein bestimmter Blutparameter B ist in der Bevölkerung in sehr guter Näherung normalverteilt mit $\sigma =2$. Von einer Gruppe chemisch verwandter Pharmaka ist bekannt, dass sie die Verteilung des Blutparameters verschieben können, d. h. sie verändern möglicherweise den Erwartungswert (unter Beibehaltung der Verteilungsform).

Für ein Pharmakon P aus dieser Gruppe soll geprüft werden, ob sich eine solche Veränderung tatsächlich einstellt. Zufällige unabhängige Stichproben des Umfangs n=22 ergeben die folgenden Messwerte für B:

ohne Gabe von P   xi 12 13 10 12 14 11 14 18 15 13 15 13 11 17 11 12 13 14 15 13 14 13
mit Gabe von P    yi 13 14 13 17 13 16 16 19 17 15 17 15 15 20 15 15 14 15 13 15 16 15

Mit diesen Messwerten sollen verschiedene Hypothesen geprüft werden. Das Signifikanzniveau $\alpha$ soll jeweils 0,05 betragen; die zugehörigen u-Werte sind dann (im Folgenden alle Werte gerundet):

• $u(1-\alpha /2)=u(0,975)=1,960$
• $u(1-\alpha )=u(0,95)=1,645$
• $u(\alpha )=u(0,05)=-1,645$

Für die Mittelwerte berechnet man $\overline{x}=13,32$ und $\overline{y}=15,36$.

• 1. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Verabreichung von P im Mittel oberhalb von 15.

Verfahren: rechtsseitiger Einstichproben-Gauß-Test

$H_0:\mu \le {\mu }_0=15$ und $H_1:\mu >15$

$z=\sqrt{22}\cdot \frac{15,36-15}{2}=0,84<1,645$

Entscheidung: H₀ wird beibehalten. Es ließ sich nicht nachweisen, dass die Gabe von P zu einem durchschnittlichen B-Wert oberhalb 15 führt.

• 2. Hypothese: Die Werte von B unterscheiden sich im Mittel in den beiden Grundgesamtheiten ohne bzw. mit Gabe von P.

Verfahren: zweiseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für unabhängige Stichproben

$H_0:{\mu }_x-{\mu }_y={\mu }_0=0$ und $H_1:{\mu }_x\ne {\mu }_y$

$|z|=\sqrt{22}\cdot \frac{|13,32-15,36|}{2\cdot \sqrt{2}}=3,38>1,960$

Entscheidung: H₀ wird zugunsten von H₁ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass sich bzgl. der Gabe bzw. Nicht-Gabe von P die B-Werte im Mittel unterscheiden.

Nun soll ein Versuch mit abhängigen Stichproben betrachtet werden. Bei umfangreichen Vorher-Nachher-Untersuchungen wurde für die Veränderung der B-Werte durch die Gabe der betroffenen Pharmaka ebenfalls eine Normalverteilung gefunden, mit $\sigma =1,6$. In der Tabelle der Messwerte seien nun die jeweils übereinander stehenden Messwerte in einem Vorher-Nachher-Versuch ermittelt worden.

• 3. Hypothese: Die Werte von B liegen nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der Werte vor Gabe von P.

Verfahren: linksseitiger Zweistichproben-Gauß-Test für abhängige Stichproben

$H_0:\mu \ge {\mu }_0=-1,25$ und $H_1:\mu <-1,25$

$\overline{d}=\overline{x}-\overline{y}=-2,045$

$z=\sqrt{22}\cdot \frac{-2,045+1,25}{1,6}=-2,33<-1,645$

Entscheidung: H₀ wird zugunsten von H₁ verworfen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 wurde nachgewiesen, dass bei Vorher-Nachher-Untersuchungen die B-Werte nach Gabe von P im Mittel um mehr als 1,25 oberhalb der B-Werte vor Gabe von P liegen.

Siehe auch

• t-Test
• Varianzanalyse

Literatur

• Rönz/Strohe (Hrsg.): Lexikon Statistik. Gabler, 1994, ISBN 978-3-409-19952-0.
• Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Kap. 20. Vieweg und Teubner, 2. Aufl. 2005, ISBN 978-3-519-12395-8.
• Cramer/Kamps: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Ein Skript für Studierende der Informatik, der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften. S. 271ff. Springer, 2. Aufl. 2008, ISBN 978-3-540-77760-1.