Gâteaux-Differential

Vorlage:Belege Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889–1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion $f:G\to ℝ,G\subset {ℝ}^n$ offene Menge, die an der Stelle $x_0\in G$ differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_{0,1},x_{0,2},\dots ,x_{0,i}+h,\dots ,x_{0,n})-f(x_0)}{h},(i=1,2,...,n)$.

Insbesondere ergibt sich für $n=1$ das bekannte Differential

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Definitionen

Weierstraßsche Zerlegungsformel

Sei $f:D\subset X\to Y$ mit $D$ offen und $X,Y$ normierte Räume. Dann heißt $f$ in $x_0\in D$ Gâteaux-differenzierbar, falls die weierstraßsche Zerlegungsformel gilt, also falls eine lineare Funktion $A\in L(X,Y)$ existiert, sodass

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}[f(x_0+th)-f(x_0)-tAh]=0$

für alle $h\in X$ mit $\Vert h\Vert =1$. Dies ist äquivalent zu

$f(x_0+th)-f(x_0)=tAh+o(|t|)$.

Dann bezeichnet man $A=:f^{\prime }(x_0)$ als die Gâteaux-Ableitung von $f$ im Punkt $x_0$.

1. Variation; Variationsableitung

Vorlage:Hauptartikel Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich $f:D(f)\to ℝ$ ein in $D(f)\subseteq \mathrm{\Omega }$ definiertes Funktional; $\mathrm{\Omega }$ sei ein linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm $\Vert \cdot \Vert$) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei $x_0\in D(f)$ und $v\in \mathrm{\Omega }$. Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle $x_0$ in Richtung $v$, falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach $\epsilon$:

$\delta f(x_0,v)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\epsilon \cdot v)-f(x_0)}{\epsilon }={\frac{\mathrm{d}f(x_0+\epsilon \cdot v)}{\mathrm{d}\epsilon }|}_{\epsilon =0}$

oder auch für $x_1\in D(f)$ durch

$\delta f(x_0,x_1-x_0)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\epsilon \cdot (x_1-x_0))-f(x_0)}{\epsilon }.$

Man beachte dabei $x_0\in D(f)$, $v\in \mathrm{\Omega }$ und ebenfalls $x_1-x_0$ darin, aber $\epsilon \in ℝ$.

Die Gâteaux-Ableitung nach $\epsilon$ ist bezüglich der Größe $h:=x_1-x_0$ ein Funktional, das auch als 1. Variation von $f$ an der Stelle $x_0$ bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben $I$ bezeichnet, und statt der Größe $h:=x_1-x_0$ schreibt man meist $\delta q(x)$, mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung ${\frac{dI(x+\epsilon \cdot h)}{d\epsilon }}_{|\epsilon =0}$ führt man in einem Zusatzschritt die Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Beispiel

Für

$f(\epsilon ):=\int \mathrm{d}tℒ(t,q(t)+\epsilon \cdot \delta q(t),\dot{q}(t)+\epsilon \cdot \frac{\mathrm{d}(\delta q(t))}{\mathrm{d}t})$

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\epsilon }(\epsilon \to 0)=\int \mathrm{d}t\frac{\delta ℒ}{\delta q(t)}\cdot \delta q(t)$ mit der Variationsableitung

$\frac{\delta ℒ}{\delta q(t)}\equiv \frac{\partial ℒ}{\partial q(t)}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q}(t)}.$

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung $\frac{\partial ℒ}{\partial x_i}$ einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall $ℒ=ℒ(x_1,...,x_n)$. So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier $\delta f$, das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. Variation

${\delta }^{2}f(x_0,v)={\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x_0+\epsilon \cdot v)}{\mathrm{d}{\epsilon }^2}|}_{\epsilon =0}$

Halbseitiges Differential und Richtungsableitung

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

${\delta }_{+}f(x_0,v)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\epsilon \cdot v)-f(x_0)}{\epsilon }$

beziehungsweise durch

${\delta }_{-}f(x_0,v)=\underset{\epsilon \to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\epsilon \cdot v)-f(x_0)}{\epsilon }$

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von $f$ an der Stelle $x_0$ genannt. Für die zum Vektor $v$ gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ an der Stelle $x_0$.

Gâteaux-Ableitung

Ist $\delta f(x_0,v)$ ein in $v$ stetiges lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch $v\mapsto \delta f(x_0,v)$ ist homogen, additiv und stetig im Argument $v$), dann heißt $f^{\prime }(x_0)$ Gâteaux-Ableitung an der Stelle $x_0$ und $f$ Gâteaux-differenzierbar in $x_0$.

Eigenschaften der 1. Variation

• Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet
  
  $\delta f(x_0,k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_0,v)$
  
  für alle $k\in ℝ$. Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

• Das Gâteaux-Differential ist eine lineare Operation, es gilt also
  
  $\delta (f_1+f_2)(x_0,v)=\delta f_1(x_0,v)+\delta f_2(x_0,v).$
  
  und
  
  $k\cdot \delta f(x_0,v)=\delta (k\cdot f)(x_0,v).$
  
  für alle $k\in ℝ$

Beispiele

1. $f(x_1,x_2)=1$, falls $x_2=x_1^2$, $x_1\ne 0$ bzw. $0$ sonst $\delta f((0,0),v)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{0-0}{t}=0$.
2. $f(x)=|x|,x\in {ℝ}^n$ ${\delta }_{+}f(0,v)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{|0+\epsilon \cdot v|-0}{\epsilon }=|v|$
3. $f(x_1,x_2)=x_1^2(1+\frac{1}{x_2})$ für $x_2\ne 0$ und $-\frac{x_1^2}{x_2^2}$ für $x_2=0$, $\mathrm{\nabla }f(x_1,x_2)={(2\cdot x_1\cdot (1+\frac{1}{x_2}),-\frac{x_1^2}{x_2^2})}^T$

$\delta f((0,0),v)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{(\epsilon \cdot v_1{)}^2\cdot (1+\frac{1}{\epsilon \cdot v_2})}{\epsilon }=\frac{v_1^2}{v_2}$ (wobei $v=(v_1,v_2{)}^T$)

Anwendungen

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei $f:X\to ℝ,X\subset D(f)\subset \mathrm{\Omega }$ offen, $\mathrm{\Omega }$ linearer normierter Raum, $x_0\in \mathrm{int}(X)$ (das Innere der Menge $X$), $\mathrm{int}(X)\ne \mathrm{\varnothing }$ und $B_{\epsilon }(x_0)$ der offene Ball um $x_0$ mit Radius $\epsilon$. Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei $x_0$ ein lokales Minimum von $f$ auf $X$, dann ist ${\delta }_{+}f(x_0,v)\ge 0\mathrm{\forall }v\in \mathrm{\Omega }$, falls das einseitige Gâteaux-Differential in $x_0$ existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: $f$ besitze in $B_{\epsilon }(x_0)$ eine 2. Variation $\mathrm{\forall }v\in \mathrm{\Omega }$ und $\mathrm{\forall }x\in B_{\epsilon }(x_0)$. Falls gilt $\delta f(x_0,v)=0\mathrm{\forall }v\in \mathrm{\Omega }$ und für ein $c>0$ ${\delta }^{2}f(x_0,v)\ge c\cdot \Vert v{\Vert }^2\mathrm{\forall }v\in \mathrm{\Omega }$ und $\mathrm{\forall }x\in B_{\epsilon }(x_0)$, dann ist $x_0$ strenge lokale Minimalstelle von $f$ auf $\mathrm{int}(X)$.

Siehe auch

• Fréchet-Ableitung