Frobenius-Reziprozität

Frobenius-Reziprozität ist ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie. Er setzt induzierte Darstellungen und die Einschränkung von Darstellungen miteinander in Beziehung.

Die Frobenius-Reziprozität sagt uns einerseits, dass die Abbildungen $\text{Res}$ und $\text{Ind}$ adjungiert zueinander sind. Betrachten wir andererseits mit $W$ eine irreduzible Darstellung von $H$ und sei $V$ eine irreduzible Darstellung von $G,$ dann erhalten wir mit der Frobenius-Reziprozität außerdem, dass $W$ so oft in $\text{Res}(V)$ enthalten ist wie $\text{Ind}(W)$ in $V.$

Sie ist nach Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Notation

Mit Hilfe der Einschränkung (engl.: restriction) kann man aus einer Darstellung $\varphi$ einer Gruppe $G$ eine Darstellung $\text{Res}(\varphi )$ einer Untergruppe $H$ erhalten. Umgekehrt kann man aus einer gegebenen Darstellung $\psi$ einer Untergruppe $H$ die sogenannte induzierte Darstellung $\text{Ind}(\psi )$ der ganzen Gruppe $G$ erhalten.

Für Darstellungen und ihre Charaktere wie auch allgemeiner für Klassenfunktionen ist ein Skalarprodukt definiert. Die allgemeine Form der Frobeniusreziprozität verwendet das Skalarprodukt von Klassenfunktionen.

Frobenius-Reziprozität

Sei $G$ eine endliche Gruppe und $H\subset G$ eine Untergruppe. Seien $\psi \in {ℂ}_{\text{class}}(H)$ $\phi \in {ℂ}_{\text{class}}(G)$ Klassenfunktionen, dann gilt

$⟨\psi ,\text{Res}\phi {⟩}_H=⟨\text{Ind}\psi ,\phi {⟩}_G$

Die Aussage gilt insbesondere für das Skalarprodukt von Charakteren von Darstellungen.

Beweis

Da sich jede Klassenfunktion als Linearkombination irreduzibler Charaktere schreiben lässt, und $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ eine Bilinearform ist, können wir ohne Einschränkung $\psi$ bzw. $\phi$ als Charakter einer irreduziblen Darstellung von $H$ in $W$ bzw. von $G$ in $V$ annehmen. Wir setzen $\psi (s)=0$ für $s\in G\setminus H.$
Dann gilt:

$\begin{array}{cc}⟨\text{Ind}(\psi ),\phi {⟩}_G& =\frac{1}{|G|}\sum _{t\in G}\text{Ind}(\psi )(t)\phi (t^{-1})\\ & =\frac{1}{|G|}\sum _{t\in G}\frac{1}{|H|}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{s\in G}{s^{-1}ts\in H}}\psi (s^{-1}ts)\phi (t^{-1})\\ & =\frac{1}{|G|}\frac{1}{|H|}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (s^{-1}ts)\phi ((s^{-1}ts{)}^{-1})\\ & =\frac{1}{|G|}\frac{1}{|H|}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (t)\phi (t^{-1})\\ & =\frac{1}{|H|}\sum _{t\in G}\psi (t)\phi (t^{-1})\\ & =\frac{1}{|H|}\sum _{t\in H}\psi (t)\phi (t^{-1})\\ & =\frac{1}{|H|}\sum _{t\in H}\psi (t)\text{Res}(\phi )(t^{-1})\\ & =⟨\psi ,\text{Res}(\phi ){⟩}_H\end{array}$

Dabei haben wir nur die Definition der Induktion auf Klassenfunktionen eingesetzt und die Eigenschaften der Charaktere ausgenutzt.$◻$

Alternativer Beweis

In der alternativen Beschreibung der induzierten Darstellung über die Gruppenalgebra, ist die Frobeniusreziprozität ein Spezialfall der Gleichung für den Wechsel zwischen Ringen:

${\text{Hom}}_{ℂ[H]}(W,U)={\text{Hom}}_{ℂ[G]}(ℂ[G]{\otimes }_{ℂ[H]}W,U).$

Diese Gleichung ist per definitionem äquivalent zu

$⟨W,\text{Res}(U){⟩}_H=⟨W,U{⟩}_H=⟨\text{Ind}(W),U{⟩}_G.$

Und da diese Bilinearform mit der Bilinearform auf den dazugehörigen Charakteren übereinstimmt, folgt der Satz ganz ohne Nachrechnen.$◻$

Frobenius-Reziprozität für kompakte Gruppen

Die Frobenius-Reziprozität überträgt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen, wobei der Satz anstatt für Klassenfunktionen hier für quadratisch integrierbare Funktionen auf $G$ gilt und die Untergruppe $H$ abgeschlossen sein muss.

Weblinks

• Frobenius reciprocity (nLab)