Friedrichssche Erweiterung

Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Halb-beschränkte Operatoren

Wir betrachten einen linearen Operator $A$, der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums $H$ definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von $A$ und wird mit $D(A)$ bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator $A$ zu einem auf einem $D(A)$ umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator $A$ heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl $c$ gibt, so dass $⟨A\xi ,\xi ⟩\ge c\Vert \xi {\Vert }^2$ für alle $\xi \in D(A)$. Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle $⟨A\xi ,\xi ⟩$ reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das $c$ steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.

Energetischer Raum

Sei $A$ ein halb-beschränkter Operator mit $⟨A\xi ,\xi ⟩\ge c\Vert \xi {\Vert }^2$ für alle $\xi \in D(A)$ und $\lambda$ sei eine reelle Zahl mit $\lambda +c>0$. Sei

$[\xi ,\eta {]}_{\lambda }:=⟨A\xi ,\eta ⟩+\lambda ⟨\xi ,\eta ⟩$ für $\xi ,\eta \in D(A)$.

Dann ist $[\cdot ,\cdot {]}_{\lambda }$ eine positiv definite Form auf $D(A)$ und man kann daher die Norm $\Vert \xi {\Vert }_{\lambda }:=\sqrt{[\xi ,\xi {]}_{\lambda }}$ auf $D(A)$ definieren. $D(A)$ ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

$H_{\lambda }:=\{\xi \in H;\mathrm{E}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}({\xi }_n{)}_n\mathrm{i}\mathrm{n}D(A)\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{t}\Vert {\xi }_n-\xi \Vert \stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}0\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\Vert {\xi }_n-{\xi }_m{\Vert }_{\lambda }\stackrel{n,m\to \mathrm{\infty }}{⟶}0\}$.

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf $H$ bezieht. Eine Folge $({\xi }_n{)}_n$ in der Definition von $H_{\lambda }$ heißt eine approximierende Folge für $\xi \in H_{\lambda }$. Offenbar ist $D(A)\subset H_{\lambda }$, denn für $\xi \in D(A)$ kann man als approximierende Folge die konstante Folge ${\xi }_n=\xi$ wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

• Sind $\xi ,\eta \in H_{\lambda }$ mit approximierenden Folgen $({\xi }_n{)}_n$ und $({\eta }_n{)}_n$, so existiert der Limes $[\xi ,\eta {]}_{\lambda }:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[{\xi }_n,{\eta }_n{]}_{\lambda }$ und setzt die auf $D(A)$ definierte Form fort.
• $H_{\lambda }$ ist mit der positiv definiten Form $[\cdot ,\cdot {]}_{\lambda }$ ein Hilbertraum.
• Ist auch $\mu$ eine reelle Zahl mit $\mu +c>0$, so ist $H_{\lambda }=H_{\mu }\subset H$ als Mengen, die durch $[\cdot ,\cdot {]}_{\lambda }$ bzw. $[\cdot ,\cdot {]}_{\mu }$ definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum $H_{\lambda }$ hängt also nur von $A$ und nicht vom speziellen $\lambda$ ab; er wird daher mit $H_A$ bezeichnet und heißt der energetische Raum von $A$.

Friedrichssche Erweiterung

Sei $A$ ein halb-beschränkter Operator. Dann ist $A$ symmetrisch, das heißt, es gilt $A\subset A^{*}$, wobei $A^{*}$ der adjungierte Operator ist. Definiert man

$A_F\xi :=A^{*}\xi$ für $\xi \in D(A_F):=H_A\cap D(A^{*})$,

so ist $A_F$ ein selbstadjungierter Operator, der $A$ erweitert. $A_F$ heißt die Friedrichssche Erweiterung von $A$.

Man beachte, dass im Allgemeinen weder $A$ noch $A^{*}$ selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen $A$ und $A^{*}$ gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von $A^{*}$ auf diesem Teilraum ist. Es ist daher $A\subset A_F\subset A^{*}$

Quellen

• Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.