Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.^[1] Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.^[1]^[2]^[3]

Formulierung

Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:^[4]^[5]^[6]

Gegeben seien eine endliche Menge $X$ und weiter eine Primzahl $p$ , eine natürliche Zahl $r$ sowie eine endliche Gruppe $(G, \cdot)$ der Ordnung $| G | = p^{r}$ .^{[A 1]}

Dabei soll $(G, \cdot)$ vermöge der äußeren Operation $G \times X \to X, (g, x) \mapsto g \cdot x,$ auf $X$ operieren.^{[A 2]}

Dann gelten folgende Aussagen:

(i) $| {Fix}_{G} (X) | \equiv | X | (\mod p)$ ^{[A 3]}^{[A 4]}

(ii) Insbesondere existiert, wenn $| X |$ und $p$ teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Allgemeine Formel

Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:^[4]^[6]

Gegeben seien eine Menge $X$ und eine Gruppe $(G, \cdot)$ , die vermöge $G \times X \to X, (g, x) \mapsto g \cdot x,$ auf $X$ operieren soll.

Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem $V \subseteq X$ für die durch die Bahnen auf $X$ gegebenen Partition.

Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel

| X | = | {Fix}_{G} (X) | + \sum_{\binom{x \in V mit}{(G : G_{x}) > 1}} (G : G_{x})

.^{[A 5]}^{[A 6]}^{[A 7]}^{[A 8]}^{[A 9]}

Folgerungen

Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:^[7]^[8]

Gegeben seien eine Primzahl $p$ und dazu eine endliche p-Gruppe $G$ mit zugehörigem Zentrum $Z (G)$ .

Dann gilt:

(i) Besteht ein Normalteiler $N ⊴ G$ nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt $Z (G) \cap N$ nicht aus dem neutralen Element allein.

(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe $G$ im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum $Z (G)$ .

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:^[9]

Jede endliche p-Gruppe $G$ der Ordnung $| G | = p^{r}$ ( $p$ prim, $r \in ℕ, r \geq 1$ ) hat einen Normalteiler $N ⊴ G$ der Ordnung $| N | = p^{r - 1}$ .

Literatur

Anmerkungen

↑ Mit $| M |$ bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge $M$ . Ist $M$ eine endliche Menge, so ist $| M |$ die Anzahl der in $M$ enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
↑ Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich $\cdot$ , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß $g x = g \cdot x$ .
↑ Die Teilmenge ${Fix}_{G} (X) \subseteq X$ besteht aus genau den Elementen $x \in X$ mit $g \cdot x = x$ für alle $g \in G$ . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
↑ Mit $\equiv$ wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
↑ Für ein $x \in X$ ist dabei $G_{x} = {g \in G | g \cdot x = x} \leq G$ der zugehörige Stabilisator und $(G : G_{x})$ sein Index in $(G, \cdot)$ .
↑ Ein $x \in X$ ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn $G_{x} = G$ bzw. $(G : G_{x}) = 1$ gilt.
↑ Die Summationsbedingung $(G : G_{x}) > 1$ wird möglicherweise von keinem $x \in V$ erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert $0$ .
↑ Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
↑ Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

Einzelnachweise

↑ ^1,0 ^1,1 Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
↑ Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
↑ Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
↑ ^4,0 ^4,1 Meyberg, op. cit., S. 67
↑ Stroth, op. cit., S. 5
↑ ^6,0 ^6,1 Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
↑ Stroth, op. cit., S. 6
↑ Meyberg, op. cit., S. 68
↑ Meyberg, op. cit., S. 74–75

[7] Mit $| M |$ bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge $M$ . Ist $M$ eine endliche Menge, so ist $| M |$ die Anzahl der in $M$ enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.

[8] Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich $\cdot$ , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß $g x = g \cdot x$ .

[9] Die Teilmenge ${Fix}_{G} (X) \subseteq X$ besteht aus genau den Elementen $x \in X$ mit $g \cdot x = x$ für alle $g \in G$ . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).

[10] Mit $\equiv$ wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.

[11] Für ein $x \in X$ ist dabei $G_{x} = {g \in G | g \cdot x = x} \leq G$ der zugehörige Stabilisator und $(G : G_{x})$ sein Index in $(G, \cdot)$ .

[12] Ein $x \in X$ ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn $G_{x} = G$ bzw. $(G : G_{x}) = 1$ gilt.

[13] Die Summationsbedingung $(G : G_{x}) > 1$ wird möglicherweise von keinem $x \in V$ erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert $0$ .

[14] Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.

[15] Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.

[KM-01-1] 1,0 ^1,1 Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67

[GS-01-2] Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.

[CK-KM-01-3] Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.

[KM-02-4] 4,0 ^4,1 Meyberg, op. cit., S. 67

[GS-02-5] Stroth, op. cit., S. 5

[CK-KM-02-6] 6,0 ^6,1 Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99

[GS-03-16] Stroth, op. cit., S. 6

[KM-03-17] Meyberg, op. cit., S. 68

[KM-04-18] Meyberg, op. cit., S. 74–75

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[A 1]

[A 2]

[A 3]

[A 4]

[A 5]

[A 6]

[A 7]

[A 8]

[A 9]

[7]

[8]

[9]

Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

Inhaltsverzeichnis

Formulierung

Allgemeine Formel

Folgerungen

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

Literatur

Anmerkungen

Einzelnachweise

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