Feuerbach-Hyperbel

Die Feuerbach-Hyperbel in einem nicht gleichschenkligen Dreieck: $H$ Höhenschnittpunkt, $G$ Gergonne-Punkt, $I$ Inkreismittelpunkt, $Sc$ Schiffler-Punkt, $M$ Mittenpunkt, $N$ Nagel-Punkt, $F$ Mittelpunkt des Feuerbachkreises, $S$ Schwerpunkt, $U$ Umkreismittelpunkt, $H_I,F_I,U_I$ Entsprechung zu $H,F,U$ im Exzenter-Dreieck, $Q$ Feuerbachpunkt, $X_1,X_2$ Brennpunkt der Feuerbach-Hyperbel

Bei einem nicht gleichschenkligen Dreieck $\mathrm{△}ABC$ liegen eine Reihe wichtiger Punkte auf einer Hyperbel, darunter der Höhenschnittpunkt $H$, der Gergonne-Punkt $G$, der Inkreismittelpunkt $I$, der Schiffler-Punkt $Sc$, der Mittenpunkt $M$ und der Nagel-Punkt $N$. Der Ast der Hyperbel, der durch diese Punkte läuft, führt durch zwei der drei Eckpunkte. Die Euler-Gerade des Dreiecks ($Euler$) schneidet diesen Hyperbelast in $H$ und $Sc$. Die Euler-Gerade ($Eule{r}_I$) des Exzenter-Dreiecks (Dreieck der Ankreismittelpunkte) $\mathrm{△}{A}_I{B}_I{C}_I$ berührt diesen Ast in $I$. Der zweite Ast der Hyperbel führt durch den dritten Eckpunkt.

Es handelt sich um eine gleichseitige Hyperbel, die Asymptoten stehen also senkrecht aufeinander.

Ihren Namen verdankt die Feuerbach-Hyperbel ihrem Zentrum, dem Feuerbach-Punkt $Q$.

Die Gleichung der Feuerbach-Hyperbel in trilinearen Koordinaten ist

$(\cos \beta -\cos \gamma )yz+(\cos \gamma -\cos \alpha )zx+(\cos \alpha -\cos \beta )xy=0$.

Der Umkreis des Fußpunktdreiecks eines jeden Punktes auf der Hyperbel läuft durch den Feuerbach-Punkt. Speziell: $H$ – Feuerbachkreis, $I$ – Inkreis.