Faktorregel

Die Faktorregel ist in der Analysis eine der Grundregeln der Differentialrechnung und besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren erhalten bleibt. Sie folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Regel

Ist die Funktion $u$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und $k$ eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion $f$ mit

$f(x)=k\cdot u(x)$

an der Stelle $x_0$ differenzierbar, und es gilt

$f^{\prime }(x_0)=k\cdot u^{\prime }(x_0).$

Beispiel

Die Funktion $u(x)=x^2$ hat die Ableitungsfunktion $u^{\prime }(x)=2x$.

Dann folgt aus der Faktorregel, dass die Funktion $f(x)=5\cdot u(x)=5\cdot x^2$ die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)=5\cdot u^{\prime }(x)=5\cdot 2x=10x$ besitzt.

Beweis

Ist $u(x)$ bei $x_0$ differenzierbar, so konvergiert $\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}$ für $x\to x_0$ gegen $u^{\prime }(x_0)$. Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch $k\cdot \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}$ für $x\to x_0$, und zwar gegen $k\cdot u^{\prime }(x_0)$. Damit folgt

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{k\cdot u(x)-k\cdot u(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }k\cdot \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}=k\cdot u^{\prime }(x_0).$