F-Yang-Mills-Gleichungen

Die $F$-Yang-Mills-Gleichungen (kurz $F$-YM-Gleichungen) sind in der Yang-Mills-Theorie eine Verallgemeinerung der Yang-Mills-Gleichungen. Ihre Lösungen werden $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge (oder $F$-YM-Zusammenhänge) genannt. Einfache und wichtige Spezialfälle von $F$-Yang-Mills-Zusammenhängen sind exponentielle Yang-Mills-Zusammenhänge mit der Exponentialfunktion als $F$ sowie $p$-Yang-Mills-Zusammenhänge mit $p$ als Exponent einer Potenz der Norm der Krümmung ähnlich zur $p$-Norm. Ebenfalls oft betrachtet werden Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge (kurz YMBI-Zusammenhänge) mit negativem oder positiven Vorzeichen in einer Funktion $F$ mit der Quadratwurzel. Dies macht die Yang-Mills-Born-Infeld-Gleichung ähnlich zur Minimalflächengleichung.

F-Yang-Mills-Wirkung

Sei $F:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+}$eine streng monoton steigende $C^2$-Funktion (also mit $F^{\prime }>0$) mit $F(0)=0$. Sei:

$d_F:=\underset{t\ge 0}{\sup }\frac{t{F}^{\prime }(t)}{F(t)}.$

Da $F$ eine $C^2$-Funktion ist, kann ebenfalls die folgende Konstante betrachtet werden:

$d_{F^{\prime }}=\underset{t\ge 0}{\sup }\frac{t{F}^{″}(t)}{F^{\prime }(t)}.$

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra $𝔤$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform ${\mathrm{vol}}_g$ ist. Sei $\mathrm{Ad}(E):=E{\times }_G𝔤\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Bündel. ${\mathrm{\Omega }}^1(E,𝔤)\cong {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\mathrm{Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform ${\mathrm{vol}}_g$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die $F$-Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:

${\mathrm{YM}}_F:{\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))\to ℝ,{\mathrm{YM}}_F(A):=\underset{B}{\int }F(\frac{1}{2}\Vert F_A{\Vert }^2)\mathrm{d}{\mathrm{vol}}_g.$

Für einen flachen Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ (mit $F_A=0$) ist ${\mathrm{YM}}_F(A)=F(0)\mathrm{vol}(M)$. Daher wird $F(0)=0$ gefordert, um eine Divergenz für eine nicht kompakte Mannigfaltigkeit $B$ zu verhindern, obwohl die Bedingung auch weggelassen werden kann, da lediglich $F^{\prime }$ von weiterem Interesse ist.

F-Yang-Mills-Zusammenhänge und -Gleichung

Ein Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird $F$-Yang-Mills-Zusammenhang genannt, wenn dieser ein kritischer Punkt der $F$-Yang-Mills-Wirkung ist, also:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathrm{YM}}_F(A(t)){|}_{t=0}=0.$

für jede glatte Familie $A:(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ mit $A(0)=A$ gilt. Das gilt genau dann, wenn die $F$-Yang-Mills-Gleichungen erfüllt sind:

${\mathrm{d}}_A\star \left(F^{\prime }(\frac{1}{2}\Vert F_A{\Vert }^2)F_A\right)=0.$

Für einen $F$-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird dessen Krümmung $F_A\in {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$ als $F$-Yang-Mills-Feld bezeichnet.

Ein $F$-Yang-Mills-Zusammenhang mit:

• $F(t)=t$ ist einfach ein gewöhnlicher Yang-Mills-Zusammenhang. In diesem Fall ist $d_{F^{\prime }}=0$.
• $F(t)=\exp (t)$ wird exponentieller Yang-Mills-Zusammenhang genannt. In diesem Fall ist $d_{F^{\prime }}=\mathrm{\infty }$. Die exponentielle und normierte exponentielle Yang-Mills-Wirkung werden jeweils mit ${\mathrm{YM}}_{\mathrm{e}}$ und ${\mathrm{YM}}_{\mathrm{e}}^0$ bezeichnet.
• $F(t)=\frac{1}{p}(2t{)}^{\frac{p}{2}}$ wird $p$-Yang-Mills-Zusammenhang genannt. In diesem Fall ist $d_{F^{\prime }}=\frac{p}{2}-1$. Gewöhnliche Yang-Mills-Zusammenhänge sind genau die $2$-Yang-Mills-Zusammenhänge. Die $p$-Yang-Mills-Wirkung wird mit ${\mathrm{YM}}_p$ bezeichnet.
• $F(t)=1-\sqrt{1-2t}$ bzw. $F(t)=\sqrt{1+2t}-1$ wird Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhang (oder YMBI-Zusammenhang) mit negativem bzw. positiven Vorzeichen genannt. In diesem Fall ist $d_{F^{\prime }}=\mathrm{\infty }$ bzw. $d_{F^{\prime }}=0$. Die Yang-Mills-Born-Infeld-Wirkungen mit negativem und positivem Vorzeichen werden jeweils mit ${\mathrm{YMBI}}^{-}$ und ${\mathrm{YMBI}}^{+}$ bezeichnet. Die Yang-Mills-Born-Infeld-Gleichungen mit positivem Vorzeichen sind verwandt mit der Minimalflächengleichung:

  ${\mathrm{d}}_A\frac{\star F_A}{\sqrt{1+\Vert F_A{\Vert }^2}}=0.$

Stabile F-Yang-Mills-Zusammenhänge

Analog zu (schwach) stabilen Yang-Mills-Zusammenhängen lassen sich (schwach) stabile $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge definieren. Ein $F$-Yang-Mills-Zusammenhang $A_0\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird stabil genannt, wenn:

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}{\mathrm{YM}}_F(A(t)){|}_{t=0}>0$

für jede glatte Familie $A:(-\epsilon ,\epsilon )\to {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ mit $A(0)=A$ gilt. $A$ wird schwach stabil genannt, wenn nur $\ge 0$ gilt. Ein $F$-Yang-Mills-Zusammenhang, welcher nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Für ein (schwach) stabilen oder instabilen $F$-Yang-Mills-Zusammenhang $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(B,\mathrm{Ad}(E))$ wird dessen Krümmung $F_A\in {\mathrm{\Omega }}^2(B,\mathrm{Ad}(E))$ zudem als (schwach) stabiles oder instabiles $F$-Yang-Mills-Feld bezeichnet.

Eigenschaften

• Für einen Yang-Mills-Zusammenhang mit konstanter Krümmung impliziert die Stabilität als Yang-Mills-Zusammenhang die Stabilität als exponentiellen Yang-Mills-Zusammenhang.
• Alle nichtflachen exponentiellen Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^n$ mit $n\ge 5$ und:

  $\Vert F_A\Vert \le \sqrt{\frac{n-4}{2}}$

sind instabil.

• Alle nichtflachen Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge mit negativem Vorzeichen über $S^n$ mit $n\ge 5$ und:

  $\Vert F_A\Vert \le \sqrt{\frac{n-4}{n-2}}$

sind instabil.

• Alle nichtflachen $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^n$ mit $n>4(d_{F^{\prime }}+1)$ sind instabil. Dieses Resultat beinhaltet die folgenden Spezialfälle:
  • Alle nichtflachen Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^n$ mit $n>4$ sind instabil. James Simons präsentierte dieses Resultat ohne schriftliche Publikation in Tokio im September 1977 während eines Symposiums zu „Minimal Submanifolds and Geodesics“.
  • Alle nichtflachen $p$-Yang-Mills-Zusammenhänge über $S^n$ mit $n>2p$ sind instabil.
  • Alle nichtflachen Yang-Mills-Born-Infeld-Zusammenhänge mit positivem Vorzeichen über $S^n$ mit $n>4$ sind instabil.
• Für $0\le d_{F^{\prime }}\le \frac{1}{6}$ sind alle nichtflachen $F$-Yang-Mills-Zusammenhänge über der Cayley-Ebene $F_4/\mathrm{Spin}(9)$ instabil.

Literatur

• Vorlage:Cite book

Siehe auch

• Bi-Yang-Mills-Gleichungen, Modifikation der Yang-Mills-Gleichungen

Weblinks

• F-Yang-Mills equation auf nLab (englisch)