Exponentiales Objekt

Ein exponentiales Objekt (oder kurz Exponential) ist eine Verallgemeinerung der Funktionenräume in der Kategorientheorie. Kategorien, die alle endlichen Produkte und Exponentiale besitzen, nennt man kartesisch abgeschlossen.

Definition

Sei $𝐊$ eine Kategorie, $Z$ und $Y$ Objekte in $𝐊$. Weiter soll $𝐊$ alle binären Produkte mit $Y$ enthalten. Ein Objekt $Z^Y$ zusammen mit einem Morphismus $\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}:(Z^Y\times Y)\to Z$ wird Exponential genannt, falls für jedes Objekt $X$ mit Morphismus $g:X\times Y\to Z$ ein eindeutiger Morphismus $\lambda g:X\to Z^Y$ (genannt Transposition von $g$) existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Universal property of the exponential object

Diese eindeutige Zuweisung eines $\lambda g$ zu jedem $g$ erzeugt einen Isomorphismus $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X\times Y,Z)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,Z^Y).$

Adjungierte Funktoren

Bezeichnet man bei festem Objekt $Y$ mit $(-\times Y)$ den Produktfunktor, der jedes Objekt $X$ auf $X\times Y$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, und mit $(-{)}^Y$ den Exponentialfunktor, der jedes Objekt $Z$ auf das exponentiale Objekt $Z^Y$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, so besagt obige Beziehung nichts anderes, als dass $(-\times Y)$ linksadjungiert zu $(-{)}^Y$ ist, in Zeichen

$(-\times Y)⊣(-{)}^Y$.