Euler-Produkt

Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.

Definition

Sei $f$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und $F(s):={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$ die entsprechende Dirichlet-Reihe von $f$. Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl $s$ absolut konvergiert, dann gilt

$F(s)=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(p^k)}{p^{ks}}$.

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion $f$ vereinfacht sich dieses Produkt zu

$F(s)=\prod _{p\mathrm{prim}}\frac{1}{1-f(p)p^{-s}}$.

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte. Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_N$ der Folge endlicher Produkte $P_N$, die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Beweis

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe $F(s)$ auch jeder Faktor ${\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(p^k)}{p^{ks}}$ absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes $N$ das Partialprodukt

$F_N(s)=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p\le N}{p\text{Primzahl}}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(p^k)}{p^{ks}}$

existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen $2=p_1<p_2<\cdots <p_j\le N<p_{j+1}$:

$F_N(s)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{k_j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(p_1^{k_1})\cdots f(p_j^{k_j})}{(p_1^{k_1}\cdots p_j^{k_j}{)}^s}=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{k_j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(p_1^{k_1}\cdots p_j^{k_j})}{(p_1^{k_1}\cdots p_j^{k_j}{)}^s}.$

Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von $f$ benutzt. Damit folgt

$F_N(s)=\sum _{n\le N}\frac{f(n)}{n^s}+\sum _{n>N}\text{'}\frac{f(n)}{n^s},$

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle $n>N$ summiert wird, deren Primteiler sämtlich $\le N$ sind. Damit folgt: für jedes $\epsilon >0$ existiert ein $N>0$ mit

$|F(s)-F_N(s)|\le \sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{f(n)}{n^s}\right|<\epsilon .$

Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte $F_N(s)$ für jedes $s$ im Bereich der absoluten Konvergenz gegen $F(s)$ (sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.

Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion

Formulierung

Im Fall $f(n)=1$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist $f$ offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle $\mathrm{Re}(s)>1$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}.$

Die Funktion $\zeta (s)$ ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.

Herleitung von Euler

Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge $M\subset \mathbb{N}$ und eine Primzahl $p$, so dass $1\in M$ und $pM\subset M$. Ist also $m\in M$, so folgt ebenfalls $pm\in M$. Dann gilt ganz allgemein für $\mathrm{Re}(s)>1$

$(1-\frac{1}{p^s})\sum _{m\in M}\frac{1}{m^s}=\sum _{m\in M}\frac{1}{m^s}-\sum _{m\in M}\frac{1}{(pm{)}^s}=\sum _{m\in M\setminus pM}\frac{1}{m^s}.$

Bezeichnen wir jetzt $p_n$ als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und $M_k$ als die Menge der Zahlen, die nicht durch $p_1,\dots ,p_k$ teilbar sind (z. B. $M_1=\{1,3,5,7,\dots \}$). Setze zudem $M_0:=\mathbb{N}$. Dann hat jedes $M_k$ die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl $p_{k+1}$ und es gilt $M_{k+1}=M_k\setminus p_{k+1}{M}_k$. Also:

$(1-\frac{1}{p_{k+1}^s})\sum _{m\in M_k}\frac{1}{m^s}=\sum _{m\in M_{k+1}}\frac{1}{m^s}$

und damit induktiv

$(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})\cdots (1-\frac{1}{p_k^s})\zeta (s)=\sum _{m\in M_{k+1}}\frac{1}{m^s}.$

Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})\cdots (1-\frac{1}{p_k^s})\zeta (s)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{m\in M_{k+1}}\frac{1}{m^s}=1,$

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

Weblinks

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