Eschenburg-Raum

Eschenburg-Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Sie sind die einfachsten nicht-homogenen Beispiele positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten.

Konstruktion

Die Eschenburg-Räume entstehen als Biquotienten einer Links- und Rechtswirkung der Kreisgruppe auf der speziellen unitären Gruppe $S U (3)$ .

Seien $k = (k_{1}, k_{2}, k_{3})$ und $l = (l_{1}, l_{2}, l_{3})$ Tripel ganzer Zahlen mit $k_{1} + k_{2} + k_{3} = l_{1} + l_{2} + l_{3}$ . Dann betrachtet man die zweiseitige Wirkung von $S^{1} = {z \in ℂ : | z | = 1}$ auf der Lie-Gruppe $S U (3)$ , die durch Linksmultiplikation mit der Diagonalmatrix $diag (z^{k_{1}}, z^{k_{2}}, z^{k_{3}})$ und Rechtsmultiplikation mit $diag (z^{l_{1}}, z^{l_{2}}, z^{l_{3}})$ wirkt. Der Biquotient dieser Wirkung ist der Eschenburg-Raum

E_{k l} = diag (z^{k_{1}}, z^{k_{2}}, z^{k_{3}}) ∖ S U (3) / diag (z^{l_{1}}, z^{l_{2}}, z^{l_{3}})

.

Die Wirkung ist genau dann eine freie Wirkung, wenn $diag (z^{k_{1}}, z^{k_{2}}, z^{k_{3}})$ nicht zu $diag (z^{l_{1}}, z^{l_{2}}, z^{l_{3}})$ konjugiert ist, also wenn

k g V (k_{1} - l_{1}; k_{2} - l_{2}) = 1, k g V (k_{1} - l_{2}; k_{2} - l_{1}) = 1, k g V (k_{1} - l_{1}; k_{2} - l_{3}) = 1,

k g V (k_{1} - l_{2}; k_{2} - l_{3}) = 1, k g V (k_{1} - l_{3}; k_{2} - l_{1}) = 1, k g V (k_{1} - l_{3}; k_{2} - l_{2}) = 1

gilt.

Für $l = (0, 0, 0)$ erhält man die Aloff-Wallach-Räume.

Eigenschaften

Die von einer gewissen links-invarianten Metrik der $S U (3)$ auf $E_{k l}$ induzierte Metrik^[1] hat genau dann positive Schnittkrümmung, wenn

k_{i} \notin [\min (l_{1}, l_{2}, l_{3}), \max (l_{1}, l_{2}, l_{3})]

für

i = 1, 2, 3

gilt.

Es gibt eine Reihe von Diffeomorphismen zwischen Eschenburg-Räumen. So induziert jede Permutation der Einträge in $k$ oder $l$ eine diffeomorphe Mannigfaltigkeit. Es gilt $E_{k l} ≃ E_{l k}$ und es gibt einen (orientierungs-umdrehenden) Diffeomorphismus zwischen $E_{k l}$ und $E_{- k, - l}$ . Weiterhin erzeugt die Addition derselben ganzen Zahl zu allen Einträgen von $k$ und $l$ einen diffeomorphen Raum.

Die Isometrie-Gruppe eines Eschenburg-Raumes hat Rang $3$ .^[2]

Insbesondere hat jeder Eschenburg-Raum positiver Schnittkrümmung eine eindeutige Darstellung $E_{k l}$ mit

k = (k_{1}, k_{2}, l_{1} + l_{2} - k_{1} - k_{2})

l = (l_{1}, l_{2}, 0)

k_{1} \geq k_{2} > l_{1} \geq l_{2} \geq 0

.

Für die Kohomologiegruppen gilt

H^{1} (E_{k l}) = 0, H^{2} (E_{k l}) = ℤ

H^{3} (E_{k l}) = 0, H^{4} (E_{k l}) = ℤ / r ℤ

mit $r = | k_{1} k_{2} + k_{1} k_{3} + k_{2} k_{3} - l_{1} l_{2} - l_{1} l_{3} - l_{2} l_{3} |$ . Der Erzeuger von $H^{4}$ ist das Quadrat des Erzeugers von $H^{2}$ .

Literatur

J.-H. Eschenburg: New examples of manifolds with strictly positive curvature, Invent. Math. 66, 469-480 (1982)
K. Shankar: Strong inhomogeneity of Eschenburg spaces, Mich. Math. J. 50, 125-141 (2002)
L. Astor, E. Micha, G. Pastor: On the homotopy type of Eschenburg spaces with positive sectional curvature, Proc. AMS 132, 3725–3729 (2004)
B. Krüggel: Homeomorphism and diffeomorphism classification of Eschenburg spaces, Quart. J. Math. 56, 553-577 (2005)
K. Grove, K. Shankar, W. Ziller: Symmetries of Eschenburg spaces and the Chern problem, Asian J. Math. 10, 647-661 (2006)
T. Chinburg, C. Escher, W. Ziller: Topological properties of Eschenburg spaces and 3-Sasakian manifolds, Math. Ann. 339, 3-20 (2007)

Einzelnachweise

↑ Eschenburg, op. cit.
↑ Grove-Shankar-Ziller, op. cit.

[1] Eschenburg, op. cit.

[2] Grove-Shankar-Ziller, op. cit.

[1]

[2]

Eschenburg-Raum

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Konstruktion

Eigenschaften

Literatur

Einzelnachweise

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