Ergodischer Fluss

Ergodische Flüsse sind ein Begriff aus der Theorie dynamischer Systeme. Anschaulich bedeutet Ergodizität eines Flusses, dass fast alle Punkte zu einer einzigen Flusslinie gehören.

Definition

Es sei $\mu$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\mathrm{\Omega }$ und $\varphi :\mathrm{\Omega }\times ℝ\to \mathrm{\Omega }$ ein Fluss, der das Maß $\mu$ erhält, d. h. für alle $t\in ℝ$ und alle messbaren Mengen $A\subset \mathrm{\Omega }$ gelte $\mu ({\varphi }_t(A))=\mu (A)$, wobei ${\varphi }_t(A)=\{\varphi (x,t):x\in A\}$.

Dann heißt $\varphi$ ein ergodischer Fluss, wenn für jede $\varphi$-invariante Menge $A\subset \mathrm{\Omega }$ gilt:

$\mu (A)=0$ oder $\mu (A)=1$.

(Eine Menge $A$ heißt $\varphi$-invariant, wenn ${\varphi }_t(A)=A$ für alle $t\in ℝ$ gilt.)

Eine äquivalente Definition besagt, dass $\varphi$ genau dann ergodisch ist, wenn die einzigen $\varphi$-invarianten Funktionen $f\in L^1(\mathrm{\Omega },\mu )$ die konstanten Funktionen sind. (Eine Funktion heißt $\varphi$-invariant, wenn für alle $t\in ℝ$ für $\mu$-fast alle $x\in \mathrm{\Omega }$ die Gleichung $f(\varphi (x,t))=f(x)$ gilt.)

Eigenschaften

• Weil alle Orbits

$\{\varphi (x,t),t\in ℝ\}$

(mit $x\in \mathrm{\Omega }$) $\varphi$-invariant sind, muss insbesondere genau ein Orbit Maß 1 und alle anderen Orbits Maß 0 haben. Insbesondere definiert ein ergodischer Fluss eine ergodische Wirkung der Gruppe der reellen Zahlen $ℝ$.

• Für ergodische Flüsse gilt der Ergodensatz:

$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}f(\varphi (x,t))dt=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }fd\mu$

für $\mu$-fast alle $x\in \mathrm{\Omega }$ und jede Funktion $f\in L^1(\mathrm{\Omega },\mu )$.

Beispiele

• Der geodätische Fluss einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist ergodisch.
• Der horozyklische Fluss einer kompakten hyperbolischen Fläche ist ergodisch.

Literatur

• A. Katok und B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995, ISBN 0-521-34187-6.