Horozyklischer Fluss

In der Mathematik ist der horozyklische Fluss ein Beispiel eines algebraisch beschreibbaren chaotischen dynamischen Systems.

Definition

Es sei $F$ eine hyperbolische Fläche, also eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form

$F=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{H}^2$,

wobei $H^2$ die hyperbolische Ebene und $\mathrm{\Gamma }\subset \mathrm{Isom}(H^2)$ eine diskrete Gruppe von Isometrien ist.

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in rot) und ein zugehöriger Horozykel (in blau).

Betrachte die hyperbolische Ebene $H^2$ und ihr Einheitstangentialbündel $T^1{H}^2$. Die Wirkung der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien

${\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}}^{+}(H^2)\simeq PSL(2,ℝ)$

auf $T^1{H}^2$ induziert eine Bijektion zwischen $PSL(2,ℝ)$ und $T^1{H}^2$. Wir betrachten die Wirkung von $PSL(2,ℝ)$ auf $T^1{H}^2=PSL(2,ℝ)$ als Linkswirkung. Dann entspricht der horozyklische Fluss ${\mathrm{\Psi }}_t$ der Rechtswirkung von $\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$ auf $PSL(2,ℝ)$.

Diese Rechtswirkung ${\mathrm{\Psi }}_t$ kommutiert mit der Linkswirkung von $\mathrm{\Gamma }$, induziert also eine wohldefinierte Wirkung ${\mathrm{\Psi }}_t$ auf dem Einheitstangentialbündel

$T^{1}F=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{T}^1{H}^2$,

die als horozyklischer Fluss bezeichnet wird.

Die Orbits des horozyklischen Flusses sind die Projektionen auf die Fläche $F$ der Einschränkungen des Einheitstangentialbündels $T^1{H}^2$ auf den Horozykeln in der hyperbolischen Ebene.

Eigenschaften

Wechselwirkung mit anderen Flüssen

Eine häufig verwendete Eigenschaft des horozyklischen Flusses ist seine Wechselwirkung mit dem geodätischen Fluss ${\mathrm{\Phi }}_t$. Es gilt

${\mathrm{\Phi }}_s{\mathrm{\Psi }}_t{\mathrm{\Phi }}_{-s}={\mathrm{\Psi }}_{e^{2s}t}$

für alle $s,t\in ℝ$. Insbesondere sind die Orbits des horozyklischen Flusses die stabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses.

Häufig wird auch der sogenannte negative horozyklische Fluss ${\mathrm{\Psi }}_t^{-}$ betrachtet, dessen Wirkung auf $T^1{H}^2=PSL(2,ℝ)$ durch die Rechts-Wirkung von $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& 1\end{array}\right)$ auf $PSL(2,ℝ)$ gegeben ist. Für diesen gilt

${\mathrm{\Phi }}_s{\mathrm{\Psi }}_t^{-}{\mathrm{\Phi }}_{-s}={\mathrm{\Psi }}_{e^{-2s}t}^{-}$,

seine Orbits sind die unstabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses.

Kompakte Flächen

Wenn $F$ kompakt ist, dann ist der horozyklische Fluss minimal, ergodisch bzgl. des Liouville-Maßes (welches im Fall hyperbolischer Flächen mit dem Bild des Haar-Maßes unter der Projektion $PSL(2,ℝ)=T^1{H}^2\to T^{1}F$ übereinstimmt) und sogar eindeutig ergodisch, d. h. jedes Fluss-invariante Maß ist ein skalares Vielfaches des Liouville-Maßes. Insbesondere sind alle Orbits gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.

Nichtkompakte Flächen endlichen Volumens

Wenn $F$ endliches Volumen (bzgl. des Haar-Maßes) hat, aber nicht kompakt ist, dann hat man periodische Orbits (entsprechend den geschlossenen Horozykeln um die Spitzen von $F$), aber mit Ausnahme der Linearkombinationen von Dirac-Maßen auf diesen periodischen Orbits sind die skalaren Vielfachen des Liouville-Maßes wieder die einzigen Fluss-invarianten Maße und alle nichtperiodischen Orbits sind gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.

Literatur

• Ghys, Étienne: Dynamique des flots unipotents sur les espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1991/92. Astérisque No. 206 (1992), Exp. No. 747, 3, 93–136.
• Morris, Dave Witte: Ratner's theorems on unipotent flows. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2005. ISBN 0-226-53983-0; 0-226-53984-9