Elitäre Primzahl

In der Zahlentheorie wird eine Primzahl $p$ elitär genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen $F_n=2^{2^n}+1$ quadratische Reste modulo $p$ sind.

Ihren Namen verdanken sie dem österreichischen Mathematiker Alexander Aigner, der sie 1986 beschrieb und als erster untersuchte. Aigner nannte diese Primzahlen elitär, da sie nur sehr selten auftauchen; er selbst fand lediglich 14 solche Primzahlen, die kleiner als 35.000.000 sind.

Da Fermat-Zahlen die Beziehung $F_{n+1}=(F_n-1{)}^2+1$ erfüllen, wird die Kongruenzfolge ($F_n$ mod $p$) ab einem bestimmten Index $s$ periodisch, d. h., es existiert eine minimale natürliche Zahl $L$ derart, dass $F_{s+k+L}\equiv F_{s+k}$ (mod $p$) für alle natürlichen Zahlen $k$ gilt. Die Terme $F_s,F_{s+1},\dots ,F_{s+L-1}$ werden als Fermat-Reste von $p$ bezeichnet. Demnach ist eine Primzahl $p$ genau dann elitär, wenn alle Fermat-Reste quadratische Nichtreste modulo $p$ sind.

Die ersten elitären Primzahlen sind: 3, 5, 7, 41, 15.361, 23.041, 26.881, 61.441, 87.041, 163.841, … (Vorlage:OEIS)

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele elitäre Primzahlen gibt. Es konnte jedoch nachgewiesen werden, dass die Anzahl $C(x)$ aller elitärer Primzahlen $\le x$ die Abschätzung

$C(x)=O\left(\frac{x}{{\ln }^2(x)}\right)$

erfüllt.

Weblinks

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