Eliminationsordnung

Eine Eliminationsordnung ermöglicht es einem bestimmte Variablen aus einem Gleichungssystem zu entfernen. Insbesondere bei Idealen kann es interessant sein, den Schnitt mit einem Teil der Variablen berechnen zu können.

Definition

Sei $T=\{t_1,\dots ,t_s\}\subset \{x_1,\dots ,x_n\}$. Eine Monomordnung auf dem Polynomring $K[x_1,\dots ,x_n]$ heißt Eliminationsordnung für $T$, falls gilt: $LT(f)\in K[t_1,\dots ,t_s]\Rightarrow f\in K[t_1,\dots ,t_s]$. Dabei bezeichnet $LT$ den Leitterm bezüglich der Monomordnung.

Beispiele

• Die lexikographische Ordnung ist eine Eliminationsordnung für alle Teilmengen $\{x_k,\dots ,x_n\},k\in \{2,\dots ,n\}$.
• Blockordnungen können auch gut als Eliminationsordnungen verwendet werden.

Eliminationssatz

Sei $>$ eine Eliminationsordnung für $T=\{t_1,\dots ,t_s\}\subset \{x_1,\dots ,x_n\}$, $I\subset K[x_1,\dots ,x_n]$ ein Ideal, $J=I\cap K[t_1,\dots ,t_s]$ und $G$ Gröbner-Basis von $I$. Dann gilt: $F=G\cap K[t_1,\dots ,t_s]$ ist Gröbner-Basis von $J$.

Literatur

• David Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2. Auflage 1997, S. 118
• Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister: Gröbner Bases and Algebraic Geometry in: Bruno Buchberger, Franz Winkler (Hrsg.), Gröbner Bases and Applications, London Math. Soc. LN 251, Cambridge UP 1998, S. 116