E8-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist die $E_8$-Mannigfaltigkeit eine einfach zusammenhängende $4$-Mannigfaltigkeit mit Schnittform $E_8$, die verschiedene ungewöhnliche Eigenschaften hat.

Graph des Dynkin-Diagramms $E_8$

Klempnern zweier $D^1$-Bündel über $S^1$

Konstruktion

Durch die Methode des Klempnerns entlang Graphen können aus mit den Knoten des Graphen assoziierten Kreisscheibenbündeln kompliziertere Mannigfaltigkeiten gebaut werden. Dies wird auf den Graphen des Dynkin-Diagramms $E_8$ angewandt, wobei den Knoten des Graphen jeweils das zum Kotangentialbündel der 2-Sphäre assoziierte Kreisscheibenbündel zugeordnet wird.

Die so erhaltene 4-Mannigfaltigkeit hat als Rand die Poincaré-Homologiesphäre. Diese berandet eine 4-Mannigfaltigkeit mit trivialer Homologie und durch Verkleben erhält man eine geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit Schnittform $E_8$. (Dies ist ein Spezialfall des Satzes von Freedman, dass es zu jeder unimodularen, symmetrischen Bilinearform eine einfach zusammenhängende, geschlossene 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform gibt.)

Eigenschaften

• Die $E_8$-Mannigfaltigkeit trägt keine Differentialstruktur. Das folgt aus dem Satz von Rochlin, demzufolge die Signatur einer differenzierbaren Spin-Mannigfaltigkeit durch $16$ teilbar ist, oder aus dem Donaldson-Theorem, demzufolge die Schnittformen einfach zusammenhängender, differenzierbarer $4$-Mannigfaltigkeiten nur dann positiv definit sein können, wenn sie diagonalisierbar sind. Die zum Dynkin-Diagramm $E_8$ gehörende Bilinearform ist positiv definit, aber nicht diagonalisierbar. Ihre Signatur ist $8$.
• Die $E_8$-Mannigfaltigkeit ist nicht triangulierbar. Dies wurde von Casson mit der zu diesem Zweck eingeführten Casson-Invariante bewiesen. Allgemein sind geschlossene $4$-Mannigfaltigkeiten mit gerader Schnittform und Signatur $8$ nicht triangulierbar.

Literatur

• M. Freedman, F. Quinn: Topology of 4-Manifolds. Princeton Mathematical Series, 39. Princeton, NJ: Princeton University Press (1990).