Dyson-Transformation

Die Dyson-Transformation ist ein Verfahren aus der additiven Zahlentheorie, welches von Freeman Dyson erdacht wurde, um Probleme wie den Satz von Mann oder das Cauchy-Davenport-Problem zu lösen. Es wurde von Olivier Ramaré verwendet, um zu beweisen, dass jede gerade Zahl die Summe von höchstens sechs Primzahlen ist.

Definition

Seien $A=\{a_1<a_2<\cdots \}$ und $B=\{0=b_1<b_2<\cdots \}$ zwei Folgen natürlicher Zahlen. Die Dyson-Transformation erzeugt für jedes $e\in A$ die neuen Folgen $A^{\prime }=A\cup \{B+\{e\}\}$ und $B^{\prime }=B\cap \{A-\{e\}\}$.

Eigenschaften

Für eine Folge $A$ aus natürlichen Zahlen und eine reelle Zahl x, schreibe $A(x)$ für die Anzahl der Elemente aus $A$, welche in $[1,x]$ liegen. Die neuartigen Folgen haben folgende Eigenschaften:

• $A^{\prime }+B^{\prime }\subset A+B$
• $\{e\}+B^{\prime }\subset A^{\prime }$
• $0\in B^{\prime }$
• $A^{\prime }(m)+B^{\prime }(m-e)=A(m)+B(m-e)$

Siehe auch

• Goldbach-Vermutung