Dyadische Elementarzellen

Die Menge der dyadischen Elementarzellen ist eine Partitionierung des p-dimensionalen Raumes.

Definition

Mit

${𝒲}_{n,(k_1,\dots ,k_p)}:=\{(x_1,\dots ,x_p)\in {ℝ}^p:\frac{k_i}{2^n}\le x_i<\frac{k_i+1}{2^n}\},k_i\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}$

definiert man einen halboffenen Würfel im ${ℝ}^p$, der die Kantenlänge $2^{-n}$ hat.

${𝒟}_n$ bezeichnet die Menge der dyadischen Elementarzellen der Ordnung $n$:

${𝒟}_n:=\{{𝒲}_{n,(k_1,\dots ,k_p)}:k_i\in \mathbb{Z}\},n\in \mathbb{N}.$

Elementarzellen selber Ordnung sind also disjunkt und voneinander durch ein Gitter getrennt.

Die Menge aller dyadischen Elementarzellen im ${ℝ}^p$ wird dann mit $𝒟$ bezeichnet:

$𝒟:=\{{𝒲}_{n,(k_1,\dots ,k_p)}:k_i\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}.$

Die Menge der Eckpunkte der dyadischen Elementarzellen $\{(\frac{k_1}{2^n},\dots ,\frac{k_p}{2^n}):k_i\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}$ wird das dyadische Gitter genannt.

Bedeutung

Die Menge $𝒟$ der dyadischen Elementarzellen ist ein Halbring und erzeugt die Borelsche σ-Algebra $ℬ$ des ${ℝ}^p$. Da $𝒟$ abzählbar ist, ist $ℬ$ eine separable σ-Algebra.

Beispiele

• $p=1$: Elementarzellen sind halboffene Intervalle.
• $p=2$: Elementarzellen sind Quadrate.
• $p=3$: Elementarzellen sind Würfel.