Dunkl-Operator

Der Dunkl-Operator ist ein Differential-Differenz-Operator aus der Lie-Theorie, der einer endlichen Reflexionsgruppe eines Wurzelsystems zugeordnet ist. Er wurde 1989 von dem amerikanischen Mathematiker Charles F. Dunkl eingeführt.

In der Stochastik untersucht man die Dunkl-Prozesse, die càdlàg Markow-Prozesse sind, deren infinitesimaler Generator eine Summe von Dunkl-Operatoren ist.

Dunkl-Operator

Wir betrachten ${ℝ}^d$ mit euklidischem Skalarprodukt $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ und Skalarproduktnorm $\Vert \cdot \Vert$.

Sei

• $R$ ein Wurzelsystem in ${ℝ}^d$,
• $R_{+}$ ein positives Teilsystem von $R$,
• $G$ die Spiegelungsgruppe von $R$, d. h. die Gruppe, die durch die Spiegelungen $\{{\sigma }_{\alpha }\mid \alpha \in R\}$, definiert durch

${\sigma }_{\alpha }(x)=x-2\frac{⟨\alpha ,x⟩}{\Vert \alpha {\Vert }^2}\alpha$,

erzeugt wird,

• $k:R\to ℂ$ eine Multiplizitätsfunktion, d. h. eine Funktion auf dem Wurzelsystem, die invariant unter $G$ ist, d. h. $k({\sigma }_{\alpha }(x))=k(x)$. Die Menge aller Multiplizitätsfunktionen bezeichnen wir mit $K$,
• $D_{\xi }$ die Richtungsableitung bezüglich eines Vektores $\xi \in {ℝ}^d$.

Dunkl-Operator

Sei nun $\xi \in {ℝ}^d$ und $k\in K$ und $u\in C^1({ℝ}^d)$. Der zugehörige Dunkl-Operator $T_{\xi }:=T_{\xi ,k}$ ist definiert durch

$T_{\xi }u(x)=D_{\xi }u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )⟨\alpha ,\xi ⟩\frac{u(x)-u({\sigma }_{\alpha }x)}{⟨\alpha ,x⟩}.$

Da noch weitere Dunkl-Operatoren existieren, nennt man diesen auch rationaler Dunkl-Operator.

Eigenschaften

Für ein fixes $k\in K$ kommutiert der Dunkl-Operator, d. h für $u,v\in {ℝ}^d$ und $u,v\ne 0$ gilt

$T_u{T}_v=T_v{T}_u.$

Dunkl-Prozess

Für eine nichtnegative Multiplizitätsfunktion $k\in K$ und Standardvektoren $e_1,\dots ,e_d$ definieren wir nun die Dunkl-Operatoren $T_i:=T_{e_i}$ definiert für $u\in C^1({ℝ}^d)$ durch

$T_{i}u(x)=\frac{\partial u(x)}{\partial x_i}+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha ){\alpha }_i\frac{u(x)-u({\sigma }_{\alpha }x)}{⟨\alpha ,x⟩}.$

Der Dunkl-Laplace-Operator ist definiert als

${\mathrm{\Delta }}_k:=\sum _{i=1}^d{T}_i^2.$

Der Dunkl-Prozess ist der Markow-Prozess $X=(X{)}_{t\ge 0}$ mit dem infinitesimalen Generator

$L:=\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}_k.$

Beispiel

Für $u\in C_c^2({ℝ}^d)$, eine Multiplizitätsfunktion $k$ und einen Dunkl-Prozess $X$ lautet der infinitesimale Generator explizit

$Lu(x)=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }u(x)+\sum _{\alpha \in R_{+}}k(\alpha )[\frac{⟨\mathrm{\nabla }u(x),\alpha ⟩}{⟨\alpha ,x⟩}+\frac{u({\sigma }_{\alpha }x)-u(x)}{⟨\alpha ,x{⟩}^2}],$

wobei $\mathrm{\Delta }$ den gewöhnlichen Laplace-Operator auf ${ℝ}^d$ bezeichnet.

Literatur

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Dunkl-Prozesse

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