Dunford-Pettis-Eigenschaft

Die Dunford-Pettis-Eigenschaft (nach N. Dunford und B. J. Pettis) ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banachräumen.

Definition

Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:

Ein Banachraum $X$ hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banachraum $Y$ jeder schwach-kompakte lineare Operator $X\to Y$ bereits vollstetig ist.

Nach der englischen Bezeichnung „Dunford-Pettis-Property“ verwendet man die Abkürzung DPP und sagt kurz, $X$ habe oder sei DPP.

Beispiele

• Die Folgenräume $c_0$, ${\ell }^1$ und ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume ${\ell }^p,1<p<\mathrm{\infty }$ hingegen nicht.
• Ist $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$ ein endlicher Maßraum, so hat L¹$(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung.
• Ist $K$ ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banachraum $C(K)$ der stetigen Funktionen $K\to ℂ$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde.
• Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banachraum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Eine Charakterisierung

Für einen Banachraum $X$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $X$ hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.
• Ist $(x_n{)}_n$ eine Folge in $X$ mit schwachem Grenzwert $x$ und $(f_n{)}_n$ eine Folge im Dualraum $X^{\prime }$ mit schwachem Grenzwert $f$, so gilt $f_n(x_n)\to f(x)$ für $n\to \mathrm{\infty }$.
• Ist $(x_n{)}_n$ eine Folge in $X$ mit schwachem Grenzwert $0$ und $(f_n{)}_n$ eine Folge im Dualraum $X^{\prime }$ mit schwachem Grenzwert $0$, so gilt $f_n(x_n)\to 0$ für $n\to \mathrm{\infty }$.

Eigenschaften

Hat der Dualraum $X^{\prime }$ des Banachraums $X$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch $X$.

Da ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ als kommutative C*-Algebra von der Form $C(K)$ ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum $K$ (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da $(c_0{)}^{\prime }\cong {\ell }^1$ und $({\ell }^1{)}^{\prime }\cong {\ell }^{\mathrm{\infty }}$ (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch $c_0$ und ${\ell }^1$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

Gemäß Definition sind alle schwach-kompakten Operatoren auf Räumen mit der Dunford-Pettis-Eigenschaft vollstetig, die Umkehrung muss aber nicht gelten. Beispielsweise hat ${\ell }^1$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft und die Identität ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\ell }^1}$ ist vollstetig, denn wegen der Schur-Eigenschaft sind schwach-kompakte Mengen bereits norm-kompakt. ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\ell }^1}$ ist aber nicht schwach-kompakt, denn sonst wäre die Einheitskugel bereits schwach-kompakt und ${\ell }^1$ wäre reflexiv, was aber nicht der Fall ist.

Quellen

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