Duale C*-Algebra

Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Definition

Ist $M\subset A$ eine Teilmenge einer Algebra $A$, so heißt $\text{lan}(M):=\{x\in A;xM=\{0\}\}$ der Links-Annullator von $M$. Entsprechend heißt $\text{ran}(M):=\{x\in A;Mx=\{0\}\}$ der Rechts-Annullator von $M$. Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

• $\text{lan}(\text{ran})(I)=I$ für alle abgeschlossenen Linksideale $I\subset A$,
• $\text{ran}(\text{lan})(I)=I$ für alle abgeschlossenen Rechtsideale $I\subset A$.

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum $H$ gibt, so dass sie isomorph zur Algebra $K(H)$ der kompakten Operatoren auf $H$ ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie $(A_i{)}_i$ von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der $A_i$, die aus allen Tupeln $(x_i{)}_i$ besteht, für die $\{i;\Vert x_i\Vert >ϵ\}$ für jedes $ϵ>0$ endlich ist. Zusammen mit der Norm $\Vert (x_i{)}_i\Vert :=\underset{i}{\sup }\Vert x_i\Vert$ ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $A$ ist eine duale C*-Algebra.
• Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in $A$.
• Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in $A$.
• $A$ ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
• $A$ ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
• Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
• Für jedes $x\in A$ ist der Operator der Linksmultiplikation $L_x:A\to A,y\mapsto xy$ ein schwach-kompakter Operator.
• Für jedes $x\in A$ ist der Operator der Rechtsmultiplikation $R_x:A\to A,y\mapsto yx$ ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele

• Die Matrizen-Algebren $M_n(ℂ)$ $={ℂ}^{n\times n}$ sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
• Die Folgenalgebra $c_0$ der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von $ℂ\cong M_1(ℂ)$ und daher dual.
• Ist $H$ ein Hilbertraum und ist $A$ eine Unter-C*-Algebra von $K(H)$, so ist $A$ dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
• Die Funktionenalgebra $C([0,1])$ ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren $c$ und ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften

• Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.

• Duale C*-Algebren sind liminal.

• Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren $K(H_i)$ vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten $K(H_i)$.

Quellen

• W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969