Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene $ℍ=\{z\in ℂ\mid \mathrm{I}\mathrm{m}z>0\}$ holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition

Für $z\in ℍ$ sei $\mathrm{\Delta }(z):=g_2^3(z)-27g_3^2(z)$,

dabei sind $g_2(z)=60G_4(z)$ und $g_3(z)=140G_6(z)$ die Eisensteinreihen zum Gitter $\mathbb{Z}z+\mathbb{Z}$.

Produktentwicklung

Die Diskriminante $\mathrm{\Delta }$ lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

$\mathrm{\Delta }(z)=(2\pi {)}^{12}{e}^{2\pi iz}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi inz}{)}^{24}$

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass $\mathrm{\Delta }$ in $ℍ$ keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante $\mathrm{\Delta }$ ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist $\mathrm{\Delta }(z)=(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(z)$.

Transformationsverhalten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d. h. unter den Substitutionen von

$\mathrm{\Gamma }:=S{L}_2(\mathbb{Z})=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\mid a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1\}$ gilt:

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d{)}^{12}\mathrm{\Delta }(z)$.

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei $z=\mathrm{\infty }$ und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

$\mathrm{\Delta }(z)=(2\pi {)}^{12}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n){\mathrm{e}}^{2\pi inz}$.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d. h.

$\tau (m)\cdot \tau (n)=\tau (m\cdot n)$ für teilerfremde $m,n\in \mathbb{N}$,

wie im Jahre 1917 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

$\tau (m)\tau (n)=\sum _{d|(m,n)}{d}^{11}\tau \left(\frac{mn}{d^2}\right)$.

Für die ersten Werte der tau-Funktion $\tau (n)$ gilt:

$\tau (1)=1$

$\tau (2)=-24$

$\tau (3)=252$.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von Derrick Henry Lehmer aufgestellte Vermutung

$\tau (m)\ne 0$ für alle $m\in \mathbb{N}$ richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen $p$ gilt:

$|\tau (p)|\le 2p^{11/2}$.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die $\tau (n)$ erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

$\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)mod691$

mit

${\sigma }_{11}(n)=\sum _{d\mid n}{d}^{11}$

Literatur

• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2