Dimensionsformel

Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume $V_1$, $V_2$ eines größeren Vektorraumes berechnen lässt:

$\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1\cap V_2)$

Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz. Einen Spezialfall stellt die Situation $V_1\oplus V_2=V_1+V_2$ dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf

$\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2,$

da für eine direkte Summe gilt

$V_1\cap V_2=\{0\}.$

Der Untervektorraum, den der Schnitt von $V_1$ und $V_2$ darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich Null ist.

Ist $V_1$ oder $V_2$ unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall

$\dim (V_1+V_2)\ge \max \{\dim V_1,\dim V_2\}$

und

$\dim (V_1+V_2)\le \dim (V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2$.

Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, $\dim (V_1+V_2)=\max \{\dim V_1,\dim V_2\}$.

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 46–47.