Descartes-Zahl

In der Zahlentheorie ist eine Descartes-Zahl eine ungerade Zahl, die eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn einer ihrer zusammengesetzten Faktoren eine Primzahl wäre. Sie sind nach René Descartes benannt, der beobachtete, dass die Zahl $D=3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 22021=(3\cdot 1001{)}^2\cdot (22\cdot 1001-1)=198585576189$ eine ungerade vollkommene Zahl wäre, wenn $22021$ eine Primzahl wäre.

Unter der Annahme, dass $22021$ eine Primzahl ist, gilt nämlich für die Summe der Teiler:

$\begin{array}{cc}\sigma (D)& =(3^2+3+1)\cdot (7^2+7+1)\cdot (11^2+11+1)\cdot (13^2+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\ & =3^2\cdot 7\cdot 13\cdot 19^2\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot (19^2\cdot 61)=2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot 22021=2D.\end{array}$

Da $22021=19^2\cdot 61$ keine Primzahl ist, handelt es sich aber um keine ungerade vollkommene Zahl. Es ist eine offene Frage, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt (siehe Artikel Vollkommene Zahl).

Definition

Eine Descartes-Zahl ist definiert als eine ungerade Zahl $n=m\cdot p$, wobei $m$ und $p$ teilerfremd sind und $2n=\sigma (m)\cdot (p+1)$ gilt, wobei $p$ als „unechte“ Primzahl angesehen wird. Das oben angegebene Beispiel ist das einzige, das derzeit bekannt ist.

Wenn $m$ eine ungerade fast vollkommene Zahl ist, d. h. $\sigma (m)=2m-1$ gilt und $2m-1$ als „unechte“ Primzahl angenommen wird, dann ist $n=m\cdot (2m-1)$ eine Descartes-Zahl, denn $\sigma (n)=\sigma (m\cdot (2m-1))=\sigma (m)\cdot 2m=(2m-1)\cdot 2m=2n$.

Wäre $2m-1$ eine Primzahl, wäre $n$ eine ungerade vollkommene Zahl.

Eigenschaften

Banks et al. konnten in 2008 zeigen, dass wenn $n$ eine nicht durch $3$ teilbare und kubikfreie (also nicht teilbar durch eine Kubikzahl größer 1, vgl. quadratfrei) Descartes-Zahl ist, $n=k\sigma (k)$ gilt für eine ungerade fast vollkommene Zahl $k$ und $n$ mehr als eine Million verschiedener Primteiler besitzt.

Zudem zeigten sie, dass die von Descartes entdeckte Zahl $D=3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2\cdot 22021$ die einzige kubikfreie Descartes-Zahl ist, die weniger als sieben verschiedene Primteiler besitzt.

Verallgemeinerung

Eine Möglichkeit, den Begriff der Descartes-Zahl zu verallgemeinern, besteht darin, auch negative Basen zuzulassen. John Voight fand das Beispiel $3^4\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 19^2\cdot (-127{)}^1$.

Siehe auch

• Erdős-Nicolas-Zahl, eine andere Art von fast vollkommener Zahl