Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Univariater Fall

Aussage

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen $X_1,\dots ,X_n$ mit zwei endlichen Konstanten $\mu$ und ${\sigma }^2\ge 0$

$\sqrt{n}(X_n-\mu )\stackrel{\text{V}}{\to }𝒩(0,{\sigma }^2)$

gilt, wobei $\stackrel{\text{V}}{\to }$ die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion $g$ mit $g^{\prime }(\mu )\ne 0$:

$\sqrt{n}(g(X_n)-g(\mu ))\stackrel{\text{V}}{\to }𝒩(0,{\sigma }^2(g^{\prime }(\mu ){)}^2).$

Beispiel

Es sei $X_1,\dots ,X_n$ eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $0<{\sigma }^2<\mathrm{\infty }$. Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel ${\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

$\sqrt{n}(\overline{X_n}-\mu )\stackrel{\text{V}}{\to }𝒩(0,{\sigma }^2)$.

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von $Y_n={\mathrm{e}}^{{\overline{X}}_n}$ interessiert, dann ist $g(x)={\mathrm{e}}^x$, $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$, $g^{\prime }(\mu )={\mathrm{e}}^{\mu }$ und $(g^{\prime }(\mu ){)}^2={\mathrm{e}}^{2\mu }$. Die Delta-Methode ergibt dann

$\sqrt{n}(Y_n-{\mathrm{e}}^{\mu })\stackrel{\text{V}}{\to }𝒩(0,{\sigma }^2{\mathrm{e}}^{2\mu }).$

Verallgemeinerung

Für den Fall $g^{\prime }(\mu )=0$ und $g^{″}(\mu )\ne 0$ gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

$n(g(X_n)-g(\mu ))\stackrel{\text{V}}{\to }{\sigma }^2\frac{g^{″}(\mu )}{2}{Z}^2,$

wobei $Z$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.

Multivariater Fall

Für eine Folge $p$-dimensionaler Zufallsvektoren ${𝐗}_1,\dots ,{𝐗}_n$ gelte

$\sqrt{n}({𝐗}_n-\mathit{\mu })\stackrel{\text{V}}{\to }{𝒩}_p(\mathrm{𝟎},\mathrm{\Sigma })$

mit $\mathit{\mu }\in {ℝ}^p$ und einer positiv semidefiniten Matrix $\mathrm{\Sigma }\in {ℝ}^{p\times p}$. Für eine differenzierbare Funktion $g:{ℝ}^p\to ℝ$ bezeichne ${\mathrm{\nabla }}_{\mathit{\mu }}$ den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion $g$ an der Stelle $\mathit{\mu }$, der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

$\sqrt{n}(g({𝐗}_n)-g(\mathit{\mu }))\stackrel{\text{V}}{\to }𝒩(0,\underset{\mathit{\mu }}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}\mathrm{\Sigma }{\mathrm{\nabla }}_{\mathit{\mu }})$.

Funktionale Delta-Methode

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode. Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

Literatur

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