Asymptotisch normalverteilt

In der asymptotischen Statistik wird eine Folge reeller Zufallsvariablen als asymptotisch normalverteilt bezeichnet, wenn die zugehörige Folge der standardisierten Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergiert.

Definition

Für die asymptotische Normalverteilung einer Folge von Zufallsvariablen gibt es eine engere Definition, die nur auf Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen anwendbar ist, und eine weitere Definition.

Enge Definition

Eine Folge reeller Zufallsvariablen $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit den Erwartungswerten ${\mu }_n$ und den positiven und endlichen Varianzen ${\sigma }_n^2$ für $n\in \mathbb{N}$ heißt asymptotisch normalverteilt, falls

$\frac{X_n-{\mu }_n}{{\sigma }_n}\stackrel{\mathrm{V}}{\to }𝒩(0,1).$

Dabei bezeichnet $\stackrel{\mathrm{V}}{\to }$ die Konvergenz in Verteilung für $n\to \mathrm{\infty }$ und $𝒩(0,1)$ bezeichnet die Standardnormalverteilung.

Weitere Definition

Eine Folge von reellen Zufallsvariablen $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt asymptotisch normalverteilt, wenn es Zahlenfolgen $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gibt, wobei $b_n>0$ für alle hinreichend großen Indizes $n$ ist, so dass

$\frac{X_n-a_n}{b_n}\stackrel{\mathrm{V}}{\to }𝒩(0,1).$

Eine Kurzschreibweise für diesen Sachverhalt ist „$X_n$ ist $𝒜𝒩(a_n,b_n^2)$“.

Eigenschaften

• Die Konvergenz der standardisierten Zufallsvariablen $Z_n=(X_n-{\mu }_n)/{\sigma }_n$ in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung $𝒩(0,1)$ ist in diesem Fall damit äquivalent, dass die Folge der Verteilungsfunktionen der standardisierten Zufallsvariablen an jeder Stelle gegen die Verteilungsfunktion $\mathrm{\Phi }$ der Standardnormalverteilung konvergiert, es gilt also

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_{Z_n}(t)=\mathrm{\Phi }(t),\text{für alle }x\in ℝ$.

• Eine Folge standardisierter Zufallsvariablen muss nicht notwendig in Verteilung gegen eine nichtdegenerierte Verteilung konvergieren. Dies zeigt das Beispiel der Zufallsvariablen $X_n$ für $n\in \mathbb{N}$ mit den durch

$P(X_n=0)=1-\frac{1}{n},P(X_n=-\sqrt{n})=P(X_n=\sqrt{n})=\frac{1}{2n}$

definierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Für diese gilt $X_n\stackrel{\mathrm{V}}{\to }{\delta }_0$, wobei ${\delta }_0$ die Einpunktverteilung auf der Stelle 0 bezeichnet.

• Der Satz über Typenkonvergenz garantiert, dass die weitere Definition nicht zu anderen Verteilungstypen als Grenzverteilung führen kann.
• Während die enge Definition nur auf Folgen von Zufallsvariablen mit endlichen Varianzen anwendbar ist, umfasst die erweiterte Definition auch asymptotisch normalverteilte Folgen von Zufallsvariablen, die keine endlichen ersten und zweiten Momente besitzen. Sind beispielsweise die Verteilungsfunktionen von $X_n$ für $n\in \mathbb{N}$ durch

$F_n(t)=(1-\frac{1}{n})\mathrm{\Phi }(t)+\frac{1}{n}G(t),t\in ℝ,$

gegeben, wobei $G$ die Verteilungsfunktion der Standard-Cauchy-Verteilung bezeichnet, dann ist für alle $n\in \mathbb{N}$ der Erwartungswert $𝔼[X_n]$ nicht definiert, es gilt aber $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(t)=\mathrm{\Phi }(t)$ für alle $t\in ℝ$ und damit $X_n\stackrel{\mathrm{V}}{\to }𝒩(0,1)$.

Anwendungen

• Ein häufige Anwendung in der asymptotischen Statistik ist die asymptotische Normalität von Schätzfunktionen.

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Dabei wird eine Schätzfunktion (ein Schätzer) $T_n=T_n(X_1,\dots ,X_n)$ für einen Parameter $\theta \in \mathrm{\Theta }$ asymptotisch normal genannt, wenn für jeden Parameter $\theta \in \mathrm{\Theta }$ Folgen $(a_n(\theta ){)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(b_n(\theta ){)}_{n\in \mathbb{N}}$ existieren, so dass

$\frac{T_n-a_n(\theta )}{b_n(\theta )}\stackrel{\mathrm{V}}{\to }𝒩(0,1)$

gilt.

• Im Fall der asymptotischen Normalalität wird für endliches, aber hinreichend großes $n\in \mathbb{N}$ die Normalverteilung $𝒩(a_n,b_n^2)$ als Approximation der Verteilung von $T_n$ verwendet.
• Häufig liegt der Spezialfall

$\sqrt{n}(T_n-\theta )\stackrel{\mathrm{V}}{\to }𝒩(0,{\sigma }^2(\theta )),\theta \in \mathrm{\Theta }$

mit ${\sigma }^2(\theta )>0$ vor. Der Schätzer $T_n$ für $\theta$ ist dann konsistent und asymptotisch normalverteilt. Manchmal wird dieser Spezialfall zur Definition der asymptotischen Normalität eines Schätzer verwendet. Dadurch ist dann eine engeres Konzept als in der oben angegebenen Definition festgelegt.

• Für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Bernoulli-Variablen $X_1,\dots ,X_n$ mit dem unbekannten Bernoulli-Parameter $p\in (0,1)$ ist der Standardschätzer für den Parameter $p$ das arithmetische Mittel $T_n={\overline{X}}_n$. Der zentrale Grenzwertsatz der Statistik impliziert

$\sqrt{n}(T_n-p)\stackrel{\mathrm{V}}{\to }𝒩(0,p(1-p)),p\in (0,1).$

Also ist $T_n$ asymptotisch normalverteilt.

• Für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen $X_1,\dots ,X_n$ mit dem Erwartungswert $𝔼[X_1]=\theta \in \mathrm{\Theta }=ℝ$ und der Varianz $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}[X_1]={\sigma }^2$ mit $0<{\sigma }^2<\mathrm{\infty }$ ist das arithmetische Mittel $T_n={\overline{X}}_n$ der Standardschätzer für den Parameter $\theta$. Der zentrale Grenzwertsatz der Statistik impliziert

$\sqrt{n}(T_n-\theta )\stackrel{\mathrm{V}}{\to }𝒩(0,{\sigma }^2),\theta \in ℝ,$

sodass $T_n$ asymptotisch normalverteilt ist.

Literatur

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