Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (nach ihrem Zusammenhang mit dem Coulomb-Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung genannt) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische Feld $\overrightarrow{E}$ und das magnetische Feld $\overrightarrow{B}$, das elektrische Skalarpotential $\mathrm{\Phi }$ und das magnetische Vektorpotential $\overrightarrow{A}$ ein, welche die klassisch beobachtbaren Felder beschreiben:

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-{\partial }_t\overrightarrow{A}$

$\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$.

Diese Definition erlaubt Eichfreiheiten in der Wahl von Skalar- und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}=0$

Wegen $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$ und $\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }=\mathrm{\nabla }\frac{\partial }{\partial t}$ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, so erhält man

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

und

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}-\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}\overrightarrow{A}=-{\mu }_0\overrightarrow{j}+\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }{\partial }_t\mathrm{\Phi }(=:-{\mu }_0{\overrightarrow{j}}_{\mathrm{T}})$.

Der Quellterm ${\overrightarrow{j}}_{\mathrm{T}}$ wird der transversale Strom genannt, weil nach Konstruktion $\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{j}}_{\mathrm{T}}=0$ gilt. Diese Bedingung ist notwendig, damit die partielle Differentialgleichung durch Vektorpotentiale gelöst werden kann, die die Coulomb-Eichung erfüllen.

Die Lösung der ersten Gleichung ist das skalare Potential

$\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime },t)}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$,

dieses ist also in dieser Eichung identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{{\overrightarrow{j}}_{\mathrm{T}}({\overrightarrow{r}}^{\prime },t^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }$.

Dabei ist die retardierte Zeit $t^{\prime }$ gegeben durch $t^{\prime }:=t-\frac{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{c}$ . Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ der Signale zum Ankunftspunkt $\overrightarrow{r}$ zu durchlaufen (c ist die Lichtgeschwindigkeit).

Der Vor- oder Nachteil der Coulomb-Eichung besteht in den zwei unterschiedlichen Zeiten in den Integralen. Das skalare Potential hängt von der instantanen Ladungsverteilung (Zeitpunkt t) ab, während für das Vektorpotential der retardierte Strom (Zeitpunkt t' < t) relevant ist. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern berücksichtigt Retardierung durchgehend. Damit ist sie auch explizit relativistisch invariant.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, so vereinfachen sich die Gleichungen zu

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=0$

und

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}-\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}\overrightarrow{A}=0$,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur

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